CHAPITRE II. I2Î
/i == 5 ; résidus i ,4 î non-résidus 2,3.
Xi X^ -T- X^X^ ■=rr: J^
XxX^-\-Xi,x^ = <j^ -^ ix — a?o)^i /5,
/i = j ; résidus i, 2, 4 î non-résidus 3, 5, 6.
37, Xf, -+- 372375 -f- 374 373 = /,
71 —. II ; résidus i, 3, 4? «^^ 9 \ non-résidus 2, 6, ^^ 8, 10.
-0^43:8-^37537,0-1-379377 — t}^ -J- (};, y'-- II,
x^^x^ -h 3:5373 -i-o:93:,o — 4^ — tj^iv/— II,
.ri377 -f- 3^33:10-1- 374 376 -h 3:5373 — 379.r8 = O — cp, y/- • I I ,
3:, 378 -1-3733:2 -r- 3:43^10-1- 375377 -+-3793:6 = Cp — cp, y/— lI• /^r=I3; résidus i, 3, 4j 9» '^? ï^ î non-résidus 2, 5, 6, 7, 8, II.
37,372 -T- 3:33:6 H- 374 378 -h 379375 -h 37,0 3:7 -^37l23',l — 6 H- (37 — 3"o)0i /l3, O:, 377 -f- 373 3^8 -I- 374 372 -f- 3:9 37, , H- 37, q 3^5 -4- 37, 376 =0 — ( 37 -f- 37o ) 0, y/lS ,
Examinons encore les changements qui s'effectuent entre les indices quand on remplacé x^ par ^,. On peut obtenir ce changement en remplaçant w' par w'-f- co, c'est-à-dire
2 ( w' -f- Lto) ) 2(w'-i- O) -^ aw) iVj, = —^^-^ par ciP^pt+i = '^^— ,
en ajoutant donc une unité aux indices o, 1,2. . . . , [n — i), dont le dernier devient ainsi zéro. Si l'on fait précéder et suivre cette substitution de celles qui laissent en place les deux racines initiales, si donc on multiplie l'indice primitif [jl par un nombre arbitraire v et l'indice transformé par un autre nombre arbitraire v', on voit que le changement de Xq en ^,, de la manière la plus
générale, s'effectue au moyen d'une substitution linéaire, remplaçant |JL par/>[jL -h/?'? où/? et/?' ne dépendent point de [jl.
Considérant seulement le changement de (ji en jjl -f- i , voyons si l'irrationnelle adjointe doit être, ou non, changée de signe. Rangeons, dans chaque différence x^^^ — Xy, les deux lettres, de telle sorte que l'on ait [Ji<^v, les indices étant supposés o, i, 2, ..., n — I . Cette disposition n'est pas altérée par le changement de [x et de V en [jl -H i et v -h i , sauf pour le cas ^ =z n — i . Mais, pour cette valeur de v, il y a /i — i différences, correspondant à [jl = o, 1 , 2, . . . , (n — 2) ; donc point de changement dans le signe. Enfin les différences œ — ^^^ se reproduisent les unes les autres. Donc enfin le produit de toutes les différences reste inaltéré. En répétant la même opération, on peut conclure ainsi : Quand, en remplaçant Xq par x^^ on augmente tous les indices de [jl unités,
l'irrationnelle \j± n reste inaltérée. Par exemple, dans le cas /^ n^ -y, on a simultanément
X^Xj^-v-X^Xq-x-X^X^ - '^{x,X^)-i-^i{x,X^)^ — 7.
Nous sommes en mesure de connaître les substitutions qui accompagnent le changement de x et de Xq en deux autres racines quelconques.
Soit à remplacer x par Xh et Xq par Xk. De la manière la
plus générale, ce résultat s'obtient en remplaçant — et — par rsvfi et swk, r et 5 étant deux entiers quelconques, c'est-à-dire
w' par r(w'-f-A'w), w par s{iù' -\-h^^i),
Alors co'-i- [jLto est remplacé par
r(a)'-HÂ:to)-H \Ls{tii' -\- hiù) ■— (5[ji-T-r)w'-f- {hs\L ~- kr)(ji.
Si l'on pose
( 1 0'2 ) V ^ — ( mod n ),
on voit que iv^ est remplacé par (^[jl +- /')fVv, donc x^ par x^. La
