CHAPITRE II

substitution linéaire et fractionnaire (102), prise suivant le module Ai, traduit donc tous les changements qui peuvent accompagner le remplacement de x par Xh et celui de x^ par Xh-

On remarquera qu'il faut prendre yi = od pour obtenir v = h. C'est pourquoi la racine x est souvent affectée de l'indice 00 .

Voyons enfin ce qu'il advient de l'irrationnelle adjointe, lors de la substitution (102). Posons successivement

' ' 5 {JL ' S ^ '

Ce nombre v coïncide avec celui qui donne la formule (102). Nous l'obtenons par une suite de substitutions rentrant dans les tvpes étudiés jusqu'ici.

La première et la dernière, on vient de le voir, n'altèrent pas l'irrationnelle adjointe. La deuxième et la troisième multiplient cette irrationnelle par 4- i ou par — i , suivant que — i , pour la

première, et > pour la troisième, sont résidus quadratiques ou non-résidus de /i. Il y a donc multiplication par + i ou par — I suivant que — ^^ est résidu ou non-résidu. En multipliant par 5-, c'est le caractère quadratique de rs{h — k) que l'on aura à considérer. Enfin, si, au lieu de mettre h et k en évidence, on écrit le second membre (102) sous la forme d'une fraction du premier degré quelconque, on peut énoncer ce théorème général :

Quand on échange entre elles deux paires de racines, tous tes changements d^ indices se font au moyen d\ine substitution linéaire fractionnaire prise suivant le module n, en sorte que

tout indice [jl est remplacé par ^-^ — ^ (modn), les nombres

entiers /?, q, p\ q' étant indépendants de [jl. U irrationnelle adjointe conserve ou change son signe suivant que le déterminant de la substitution {pq' — qp) est résidu quadratique de n ou non-résidu.

Cette dernière partie de la proposition, en d'autres termes, signifie que, dans les substitutions envisagées, le produit de toutes les différences {x^ — ^v)? y compris [ji = 00, conserve ou change son signe suivant le caractère quadratique de pq — qp' , Elle prend

son origine dans les idées précipitamment éhiises par Galois; elle a été trouvée par M. Hermite (* ).

Dans le cas n = 5, nous avons démontré qu'on a

(lO) ) xxo-h XiX^-^ XiXi= /{x, Xxi) —f(xi,xi,) —/( 375,375).

Il s'agit de reconnaître s'il existe d'autres cas où, en ajoutant le terme xXq à l'une des sommes (100), on obtient ainsi une fonction qui reste invariable quand on y remplace a: et Xq par deux racines accouplées dans la somme ou conjointes.

Soient a, pa ces deux indices conjoints, en sorte que, remplaçant X et Xq par Xol et XpoL^ on doive voir la somme

O ^^ XX{) — r~ Xq^Xqq^~t~ 37q37 û ~+~ . • •

rester inaltérée, chaque couple se transformant en l'un des autres. Observons d'abord qu'on peut supposer x remplacé par Xa. ou par ^pa, Xq étant, en même temps, remplacé par la racine conjointe. Prenons le premier cas : S se reproduit quand X(x remplace X et ^Tpa remplace Xq- Changeant tous les indices en leurs inverses, nous voyons que S', conjuguée de S, se reproduit quand

Xi remplace Xq et x ^ remplace x, A l'égard de S', - joue le

à pâ "

même rôle que p à l'égard de S ; c'est - qui est le premier indice

dans le couple l-j — j • On le voit donc, si, pour S, l'indice zéro est

remplacé par le second indice d'un couple, alors, pour la somme conjuguée, l'indice zéro est remplacé par le premier indice. A condition d'envisager toutes les sommes S, S', . . ., on peut donc se borner au cas où ^ot remplace x. Si l'on trouve ainsi une somme S ;i satisfaisant aux conditions requises, il y aura, en même temps, à étendre le résultat à sa conjuguée.

La substitution des indices se fait suivant la formule (102), où, sans moins de généralité, on peut prendre 5=1; on doit y supposer

/t = a, k — poL.

( ' ) Sur la théorie des équations modulaires, p. 59.

CHAPITRK II.

L'indice [jl est ainsi remplacé par

(mod/i).

Par conséquent, 'p et p^ sont remplacés ainsi

(io5)

? par a^^^-P',

En particulier, les indices — r et — or sont remplacés par oo et o, en sorte que la somme S, transformée de S, qui contient déjà le couple ^a-^pa? transformé de xxq, contient aussi le couple xXq^ transformé de x rOr^r* Pour chaque valeur de p, autre que — /', le couple (P', ^') doit reproduire un des couples de S. Le rapport ^^ : ^'' doit donc être p ou son inverse. Dans ce rapport a disparaît. Si donc les conditions qu'on va trouver sont rem plies, S sera invariable par la substitution d'un couple quelconque au couple xXq.

Les expressions de p' et P" donnent

3 ^ ao — P' r

aD

Si Ton suppose ^'^=h p^', la dernière égalité devient

r OL — pi-î

, avec la première, on conclut

[l'on change, dans les expressions (io5), p en son inverse, ^' »e changent en ^ et ô7* La supposition 3' ^2 p^'' est donc trade même, par la relation

126 TROISIÈMB PARTIE. — FRAGMENTS.

Les conditions du problème exigent donc que, dans chaque couple, le premier indice ^ soit racine de V une ou Vautre des deux congruences (io6, 107). Bien entendu, le couple a;^o échappe à cette condition, ainsi que le couple x rX r^^ qui, lui aussi, entre dans la composition de S.

Dès maintenant, les cas possibles sont étroitement limités. Chacune des deux congruences (106, 107) a, au plus, deux solutions, permettant la construction de quatre couples au plus. Avec les deux couples xxq et x rX r^^ on en a donc six, au plus; donc /i + i5 12 ou /il. 1 1.

Les seuls cas à envisager concernent donc les nombres premiers /i ^= 5, 7 ou 1 1 , et l'on pourrait se borner à examiner successivement les sommes S, en petit nombre, obtenues par l'addition de xXq aux sommes formées plus haut. Mais on peut rapidement aussi terminer cette analyse directe, comme nous allons le faire.

Et, d'abord, supposons p = — 1, hypothèse qui correspond aux sommes dénotées / dans les exemples ci-dessus. Les congruences

Comme — i doit ainsi être résidu quadratique, l'hypothèse n=^ 5 est seule possible. On obtient de la sorte la somme (io3). Elle est unique, étant égale à sa conjuguée.

Pour les autres cas," écrivons la congruence ( ïo6) sous la forme

(108) (2p-^ rp-i-r)2~r2(p-f- 3)(p — i),

mettant ainsi en évidence que (pH-3)(p — i) doit être résidu quadratique de n ou nul. S'il en est ainsi, la congruence a deux solutions ou une seule. En outre, ^' doit être le premier indice dans un couple, par conséquent résidu. Or on a

ou, d'après la congruence (108).

P'(p-^r)î^ar2(p — 1).

Comme a est résidu, il faut que p — 1 le soit aussi. Par conséquent, /es conditions nécessaires et suffisantes pour que j3' soit