CHAPITRE II
le premier indice et |3" le second indice d'un même couple appartenant à S se réduisent aux suivantes ; p H- 3 e/ p — i doivent être résidus quadratiques de n.
Changeant p en son inverse et observant que p est non-résidu, on conclut aussi les conditions pour que ^" soit le premier indice et P' le second : 1 -{- ^p et 1 — p doivent être non-résidus.
Enfin les indices — r et — or devant former un couple, on doit prendre — /• égal à un résidu.
Il ne reste plus qu'à examiner ces conditions pour /i r= 5, 7 ou I I , en prenant successivement les valeurs diverses de p :
n — 5; p = '2, p — I résidu, p -4- 3 ^- o.
La congruence (108) donne [î=:^r, et l'on peut prendre r= zb i . La fonction
( I 09 ) XXq -r- X1X2-T- X}^ 373
se change en elle-même par la substitution qui remplace l'in-
dice [Ji par a -î— , où a et /• sont, tous deux, égaux à =iz i .
Pour le cas p = 3, il suffit de changer l'indice et l'indice transformé en leurs inverses, de sorte que la fonction conjuguée
(lio) XXo-^XiX^-h Xi,X2
se change en elle-même quand on remplace l'indice [jl par
arjx-t- 1
n = y; p = 3, p-1-3, i-f-3p, 1 — p non résidus.
La congruence (107), c'est-à-dire celle que l'on déduit de (106) par le changement de p en son inverse donne, pour j3, les valeurs 3r et 5/\ On a ainsi, pour le premier indice, les valeurs — r, 3 r, 5r qui coïncident, comme il convient, avec les trois résidus i , 2, 4> si l'on prend, pour r, un quelconque des non-résidus. Par conséquent, la somme
(m) xxq -{-X1X3-T- X2 xq -i- Xi^x^
se change en elle-même par les substitutions qui remplacent Tin-
(lice (Ji par a - — '^^- , où Ton doit prendre a = i , 2 ou 4 î /* = 3,
5 ou 6.
Sans qu'il soit besoin d'examiner le cas p = 5, on conclut que la fonction conjuguée
(il .a) xxo-i~ X1X5-T- ar^Xz-h X!,Xq
se change en elle-même dans les substitutions remplaçant ja par
n = 1 1 ; p = 'i] p-i-3, p — 1 résidus; i-^3p, 1 — p non-résidus.
La congruence (»o6) donne, pour p, les valeurs 6/* et 2r- En même temps, la congruence conjuguée donne les valeurs 8/* et 7/*. Prenant r égal à un des non-résidus, on reproduit par l'ensemble — /•, 6r, 2/', 8/*, yr tous les résidus. Par conséquent, la fonction
(Il3) XXQ-h XiX^-^ X^Xq-x- Xi^X^-r- XiiXio -h XQX^
se reproduit dans les substitutions remplaçant ja par a~
OÙ a est un quelconque des résidus, r un quelconque des non-résidus. La fonction conjuguée
( M 4) ^^Q -h a^l 376 -H Xs Xi -T- Xi^ X^ -f- X^ X^ ~ç- X^XiQ
se reproduit de môme quand |a est remplacé par a — î- ; c'est
ce qu'on trouverait en envisageant le cas p = 6.
Pour le cas p = 7, p +3 est non-résidu et il n'est pas nécessaire d'aller au delà. On peut, dès lors, conclure que les deux sommes correspondant àp = 7etàp=:^8ne peuvent se reproduire elles-mêmes quand le couple xxq est changé en un autre couple.
Parmi les diverses sommes que nous venons d'envisager, la première (io3) a été étudiée dans le premier Chapitre. Nous avons vu que ses propriétés entraînent la conséquence suivante : cette fonction satisfait à une équation du cinquième degré, dont les coefficients sont entiers en g2 et g^. Une propriété analogue existe-t-elle pour les autres sommes? Telle est la question qu'il faut traiter.
