CHAPITRE II

A l'égard de la somme .(109), il n'y a pas lieu de chercher une propriété analogue, cette somme n'étant pas une fonction symétrique de X et de Xq. Quant aux autres, elles sont efFectivement des fonctions symétriques de x et de Xq^ et l'on doit, avant tout, examiner si, dans les substitutions considérées, l'irrationnelle adjointe conserve son signe.

D'après nos propositions générales, il en est ainsi à la condition que a/-(i — p) déterminant de la substitution (io4) soit un résidu. Or c'est ce qui a lieu effectivement pour les cas 71 = 7, pr=:3 et ^=11, p= 2, puisque a est un résidu et que r et i — p sont non-résidus.

A l'égard des sommes (m) et(ii3), leurs expressions ration nelles en fonction de racines satisfont donc aux conditions

F(^, Xq) = ¥{xq,x) = ¥{Xai, :rpa) = F(^pa, iPa) =• • •

et F contient, dans ses coefficients, l'irrationnelle y/ — /i, prise partout avec une seule détermination. Dès lors, cette irrationnelle n'empêche point d'appliquer à ces fonctions la même analyse qu'à la fonction (io3) du cas /i = 5. Voici donc la conclusion :

Pour /i =^ 7, Ici somme (in) est racine d^une équation du septième degré dont les coefficients sont des fonctions entières

de g2j gi et de \j-~ 7.

Si l'on y change le signe de \J — 7, on obtient une équation à laquelle satisfait la somme (11 '2),

Pour n=^ iiyde même, les sommes ( 1 1 3) e^ ( 1 1 4 ) sont racines de deux équations du onzième degré, conjuguées, dont les

coefficients sont des fonctions entières de g^^ g^ et de y/ — 1 1.

Ainsi qu'on l'a déjà observé pour /i = 5, ces résultats s'appliquent aussi à chaque combinaison qui présente, en commun avec les sommes précédentes, ce caractère : elle contient les racines x accouplées de la même manière; elle est symétrique par rapport aux éléments d'un même couple et symétrique aussi par rapport à deux couples quelconques.

Par le moyen de ces combinaisons, on obtient, dans les cas III. 9

l3o TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS.

n = 5,7 OU II, une équation de la division des périodes qui est seulement du degré /?, au lieu de n-f-i. Cet abaissement d'une unité dans le degré ne se produit dans aucun autre cas, les invariants g2j g'i restant, bien entendu, indéterminés. Voici comment on peut le démontrer. En premier lieu, une fonction des racines ûc ^ entièrement donnée et rationnelle, est susceptible de (n -\- i)n{n — i) valeurs, quand elle est quelconque. On peut effectivement choisir arbitrairement, de (/i-|-i)/i manières, deux d'entre elles pour leur faire jouer le rôle de x et Xq^ après quoi iT y a /i — I manières de fixer l'ensemble des autres racines. Ce dernier nombre est réduit de moitié par l'adjonction de ^'± n. Ainsi, par cette adjonction, le nombre des valeurs d'une fonction des racines est généralement j{n -\-i)n(n — i). Le facteur premier n suffit à faire connaître l'impossibilité d'une transformée ayant un degré moindre que n. Supposons donc l'existence effective d'une combinaison S qui satisfasse à une équation du degré n. Exprimons S en fonction de deux racines x et ûOq ; S devient ainsi une fonction algébrique F(x, ^o) dont nous envisageons une détermination. On ne saurait avoir F(Xj Xi) =^F(x^Xo), En effet, les n quantités F(x, x^) seraient alors égales entre elles. Après le choix de la racine initiale x^ celui de Xq serait indifférent ; le nombre des valeurs de S, avec l'adjonction de Tirrationnelle, serait donc ^(n -{- i){n — i) ou un diviseur de ce nombre, ce qui est impossible, l'hypothèse étant que S a /i valeurs et que n est premier. Les n valeurs de S doivent donc être F(jr, x^). F(j:, x^)^ ... et, par conséquent, F(je', jTo) doit avoir une seule valeur dès que .r et x^ sont choisies. Donc, enfin, la constitution de S doit permettre l'accouplement des racines deux à deux suivant les lois étudiées précédemment. En conclusion finale, quand les invariants g2 et ^3 restent indéterminés, les seuls cas où la division des périodes, par le nombre premier /i, dépende d\ine équation ayant un degré inférieur à /i, sont les suivants .- n = 5, y ou II. Ce théorème est du à Galois (*).

(») Outre le Mémoire de M. Hermite, cité eo tèle de ce Chapitre, voir, sur ce sujet, la Lettre de G<itois à MSAuguste Chevalier {Journal de Mathématiques, t. \I, p. ^oS; année 1846 ): — un Mémoire de M. Betli, intitulé: Sopra abtfas" samento detr equasioni modutari {Annaii di Tortolini; i853); — le Traité des substitutions, par M. Camille Jordan (p. 3^- \