CHAPITRE II. l3l

L'une des résolvantes du septième degré, pour le cas /i = 7, a, pour l'une de ses racines, la quantité suivante (i 1 1)

Xo= ^.2^0+ XiX^-^ X^Xç-h Xi^Xi,

Les autres racines X|, X2, . . . , Xe s'en déduisent par l'addition d'un même nombre d'unités à chaque indice, la première quantité x restant invariable.

En supposant ^3=0 et ^0= 4» on ^ trouvé que les x s'expriment comme il suit

X =-~Xo= \/l, (.15) ^x, = .-x,= s/h.

j X5= — Xi,= v/$2 ,

= — ^3 = \/izi

et les quantités y/^, . . . ont été définies complètement. De plus, on a vu tous les produits de ces quantités, deux à deux, explicitement et rationnellement exprimés en fonction de «, de y/7 et de

Y2y/'7. De pareilles expressions peuvent donc être trouvées pour les quantités X.

Par la substitution des x, on trouve

Xj = XXi H- X2X!, -hX3Xo-\- X5X6 = \/iU + /Çi $s — S/Wl — /b$3 ,

Xj — xx^-h X3X5-T- Xi^xi-h XqXo= Xi,

X3 = XX^ -\- Xi^X^-h X^X^-h XoXi=^ — Xi ,

X4 = XXi^-\-X^Xo^XQXi ^XiX2 = — 2(/j;2 ^ /SlSs)»

X6= XX^-r- XqXi^ XoXi,-h X^^Xs= 1\/^—^i $3,

Xg = XXq-\- XqX2-{- XiX^-h X^X^-= Xi.

Ce n'est pas le calcul même de ces racines, immédiat d'après les formules (83, ,84), que nous poursuivons, mais celui du premier membre de l'équation, d'après ces racines, pour faire apparaître sa nature de polynôme entier en y/ — 7, à coefficients entiers. Pour ce but, nous mettrons à part la racine X4, nous réunirons les racines Xq et X5 ; enfin nous réunirons les deux racines doubles ± Xi .

l32 TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS.

Voici les calculs qui mettent en usage les formules (83 à 86) et 011 l'on met indifféremment y/ — 7 pour « y/7 :

= (i H-/) (11 ^7 — 25OV/2/7»

(Xs-- Xo)2= '2^7(83 - 3.5 v/=^), (X5-Xo)2=2=»(5^7. 11 + 3.37/^),

Xi = — 2(1 -i- (5 H- 2 v/— 7) V^^ // * Xfrr: — 2*(22.5.7-f-3/^).

Rétablissons Tliomogénéité en multipliant l'expression de chaque quantité X par {^j, et concluons que le premier membre de la résolvante, quand on suppose ^3= o, se réduit au produit des trois facteurs ci-après :

X - X, = X -f- i(7 + 3 v/^)^.2, ,,j^^^ , (X2-Xf)2^[X2^-(.,2.5.7-H3v/=^)^:]]%

(X-X5)(X-Xo) = X^-^K^.7-3v/=^)^2X

Ces facteurs ont, comme on le voit, la forme qui était prévue. La seconde résolvante a, pour l'une de ses racines, la quantité

X'o = xxq -f- :ri a:'5 -f- x^x^^ -^Xj^x^^

déduite de Xq en remplaçant chaque indice par son complément à 7. D'après cette remarque, on a ,

tandis que, les termes étant rangés convenablement, on a aussi

■^7—/// ^^ ^^l—in "T- XQ—f,i X2~ m -h ^ti—ni -^^—m "+~ *^3— m^l— //i j