CHAPITRE 11. l

En prenant à part les cas g2 :^= o el g^ = o, on a, par là, déterminé les coefficients de tous les termes qui ne contiennent pas, à la fols, g2 et ^3.

Il y a toutefois une précaution à observer ici, à cause de Tirra-

lionnelle y — "j : il faut savoir si, dans les deux calculs, on a pris pour cette irrationnelle des signes concordants.

Le premier calcul a été fait avec la donnée suivante : g2 est positif, les désignations des racines x sont celles du Tableau (II)

et y/ — 7 est égal à «V7' P^^r le second calcul, on a pris a conforme à Thypothèse ^3>o; on a respecté la supposition

y/ — y = *V7» ^^ outre, les racines sont désignées comme dans la partie supérieure du Tableau (II).

A propos de ce Tableau, on a fait observer que, pour la continuité, il faut en passant, par exemple, du centre à la partie supérieure, changer les indices des racines x. Pour établir la continuité entre le premier calcul et le second, il faut donc, dans le second, remplacer les indices

qui occupent la bande de séparation entre le centre et la partie supérieure par les indices qui, respectivement, occupent la même colonne dans la bande supérieure, c'est-à-dire par

Cette substitution n'altère point la quantité Xq,

Xq = XXq -t- XiX^-h Xi Xi -t- Xf^X^.

Les deux calculs, on le voit, ont été faits d'une manière concordante. Déjà donc, par les résultats (117) et (119), nous connaissons complètement les premiers termes de l'équation, sa- \^oir

donc en tenant compte de la lacune, ainsi reconnue, nous avons déterminé les coefficients de trois termes. Quant aux autres termes, nous n'avons, jusqu'à présent, que des résultats incomplets.

l36 TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS.

Faisons maintenant Intervenir la considération du cas A = o. On a vu qu'alors une racine x est égale à 21 y et les sept autres à — 3 Y, avec ^o^i^y^. Dans ces conditions, toutes les quantités sont égales entre elles ; leur valeur commune est

Les sept racines Y = X -+- 3^2 sont nulles, et c'est là ce qui a guidé dans le choix de l'inconnue Y. Tous les coefficients donc, sauf celui de Y^, contiennent le facteur A. Ce renseignement suffit déjà, vu l'homogénéité, à faire prévoir la lacune qui se rencontre dans l'équation (120), où, de plus, le coefficient de Y* est effectivement A, sauf un facteur numérique.

Pourvus de ce renseignement supplémentaire, nous connaîtrons les coefficients de totis les termes qui ne contiennent pas, à la fois, les trois facteurs ^3, g^^ A, successivement supposés nuls dans les résultats partiels.

Mais le degré de tous les coefficients est pair et ^3 n'y figure qu'avec des exposants pairs. Le produit gig\ A est de degré i4 ? c'est celui du dernier terme, indépendant de Y. Ainsi l'équation est connue, dans son entier, sauf un seul terme ^gig\ A, dont le facteur numérique \ restera à trouver par quelque autre moyen.

Pour trouver ce dernier terme, supposons g^, infiniment petit et calculons la partie principale de la racine infiniment petite X3. Les racines x étant dénotées par des lettres accentuées, on a (p. 67),

x' = X -hjo'a^o, or\ = ol^x -^ p' ol Xq, x'q = ol x -i-p'oL^aro,

• x'q=Xo-^PX, x'^ = OL Xq— P OL^X, x\ = OL'^XQ-hpCiX.

Il en résulte

X3 = X'x'^ -+- x\x'q -t- X'^X'2 -h X'^00\ — 3(pCIL^X'-hp'0LXl ).

Suivant les expressions (28, 29) de /? et p', on trouve

pX^-i-p'xl=\g^.2, pX^—p'xl rrz —^^i.

Un calcul, tout pareil à celui qui a été indiqué plus haut, pour