CHAPITRE II. i^l

Mais c'est là précisément le produit de ces quantités, dans tous les cas. Ce produit est, en effet, celui de toutes les différences des quantités ^, prises deux à deux, c'est-à-dire la racine carrée du discriminant de l'équation en ^, dont on a trouvé précédemment l'expression (60).

Nous connaissons, dès à présent, le dernier terme de l'équation en T: c'est la quantité (laS), changée de signe. De plus, l'expression de Tj^mène à l'observation suivante : dans l'équation en T, le coefficient de T"*, sauf pour m ^=z j et m = o, doit contenir le

facteur A avec un exposant n, tel que l'on ait n H '- — > 12.

On trouve par là, pour n, les limites inférieures successives 2, 4, 6, ^, 9, 11. Eu égard à l'homogénéité, on peut conclure que Téquation a la forme suivante

/ T7-f-a42T6|-6A*TS-+-cA6T*-f- AA'T3 (126) ) T /

i -1- BA9T2-i-C Ail T-r- ;;^ (12^2)^^12/— 7=0,

OÙ «, 6, c sont numériques, tandis que A, B, C sont des binômes de la forme eg\ H- /A, e et /étant numériques.

En revenant au cas ^2= o, nous voyons que B et C se réduisent au seul terme en g\^ puisqu'on a, dans ce cas, la racine triple T = o. En outre, supposant g^ infiniment petit, on a vu que les trois racines infiniment petites, ï^, T5, Te, sont infiniment petites du second ordre en g^] c'est ce que montre l'égalité (i23). Il en résulte que C est nul. L'équation en T prend donc la forme

I T7H-aA2T6-r-6A*T5-T-oA6T^

^*''^^ j -4-(e^3^/A)A-T3-,.A^5A9T2-^l(i2^2)6Ai2v/^.. o,

et, d'après les résultats trouvés pour le cas go = 0, on a immédiatement

(128) T^-i-aT3 4-6T2-r-cT-t^/= ^T— ^'^ — ^—^ j (t-^/Z^),

en sorte que les coefficients e, h restent seuls inconnus.

Une vérification s'offre de plus. Cette équation (126) donne,

en effet, pour les racines infiniment petites avec ^oj

On a / par l'identité (128) et l'on peut en conclure T, dont la partie principale coïncide effectivement avec celle que donne la formule (i ->'3).

Laissons de côté, pour le moment, le calcul des coefficients e, /i. Nous avons en vue un autre but, trouver la relation entre T et Y. Mais, d'abord, changeons la forme de l'équation (127) en posant

T = A2S, ^i = AJ, ce qui donne

(,,;,()) S7-f-aS6-v-6S5-f-cS*-t-/S5-i- JS2(eS-i-A)-+- ^ J V— 7 = »,

équation entière entre S et J.

Semblablcment, en posant

après avoir écrit l'équation en Y ainsi

Y7-+- A[ay^ -r- ?^2y3^ Y^l Y2-4- (8^1 -^ 8'A) Y -- ^2(£^i H- £' A)] = o,

on la met sous la forme

(i3o) Z7 -+- j (aZ'» -f- ?Z^^ H yZ2 -h ûZ -f- s) -I- ^ (8'Z -4- s') = o.

On peut exprimer S en fonction rationnelle de Z, de g2 et ^3; mais S et Z sont des invariants absolus, c'est-à-dire ne dépendant point de la constante d'homogénéité X que l'on introduit, à volonté, en multipliant go et ^3 par X^ et \^ ; S s'exprime donc par Z et J seulement. Cette expression est rationnelle; car §^3, dans l'expression de S en Z, g2 et ^3 ne peut figurer qu'avec des exposants pairs, comme on l'a vu (17) dans une analyse semblable. Mais J est une fonction de Z, que définit l'équation ( i3o), du second degré en J. Donc S s'exprime, en fonction de Z, par une équation du second degré en S.

On peut intervertir, dans ce raisonnement, S et Z et conclure