CHAPITRE II. l

que S et Z sont liés par une équation du second degré par rapport à chacune de ces deux quantités, une équation biquadratique.

Nous distinguerons les racines S de l'équation (129) et les racines Z de l'équation (i3o) par les mêmes indices que T et Y, et ces indices se correspondent, en sorte que, simultanément, S et Z prennent les valeurs Spt. et "L^, Qand ^2 est nul, on a

82 = 84 = 80 = K21 — /— 7)» 83 = — /— 7, Si = 85 = 85 = o.

En même temps, comme on l'a vu, Y2, Y4, Yo, ainsi que Y^, Y5, Yc, restent finis, tandis que Y3 est infiniment petit avec ^2' et son rapport à ^2 est donné par l'égalité (121). Ainsi les va-

Y leurs de Z sont 00 et — : cette dernière correspond à S3. Considé-

rant les premières, on voit que Z devient infini pour S = o et pour

S= So. Le coefficient de Z- dans l'équation cherchée est donc

S(S-So).

L'hypothèse J=o (c'est-à-dire ^2 = 0) est, d'après l'équation (129), la seule qui donne S = o. On vient de voir que les valeurs de Z correspondantes sont infinies. Les termes indépendants de S se réduisent donc à un seul, le terme constant.

Envisageons maintenant le cas A=::: o, c'est-à-dire J =: 00. Toutes les valeurs de S sont infinies et celles de Z sont nulles. C'est le seul cas où S puisse être infini^ le coefficient de S^ se compose donc d'un seul terme, qui contient Z^, puisqu'on a déjà reconnu l'existence du terme S (S — So)Z2. Mais Zpeut être nul sans que J soit infini, comme le montre l'équation (i3o), donnant, à cetefiet, la condition e'-t- Je = o. L'équation cherchée, grâce à ces observations, est réduite à la forme suivante :

(i3i) S /^S — ^^~/~^ j Zg-h7?i8Z-4-n8-f-/? = o,

où m, 71,/? sont numériques.

En vue de calculer ces coefficients, prenons d'abord le cas où A est évanouissant. Rappelons-nous les formules

a? = 2iY> a?u. = — 3y-+-Po^"^ )

pour en conclure

Yo — 3 ^2 -+- ^^0 -T- ^1 ^3 -r- X^Xç^ ~ Xi^ Xi

pr^e "^ ,

tandis que la formule (124) donne

To=— ^PJS ^o = — ^-^•

Il en résulte

^ 7î 4v/-^ PS* 9.6. 3V=^ ^0^0 = — ^ ;^2 - :^ '•

et, si Ton prend dans Téquation (i3i), les termes de l'ordre le

plus élevé,

Prenons, en second lieu, le cas où g2 est infiniment petit; considérons ï|, donné par la formule (128), d'où nous déduisons

Semblablement, l'expression (1 18) de X^ donne

Prenant dans l'équation (i3o) les termes qui ne se réduisent pas à zéro, on en conclut

îl— ^SiZî = 2î.32(5 4-3v/-7)*.

Enfin, pour déterminer le dernier coefficient, nous avons, pour