CHAPITRE II. l

^2 infiniment petit, les valeurs simultanées

9/. , ïi

qui, substituées dans l'équation (i3o), donnent

Voici donc la relation cherchée

s('s- "'~y^ )z^-.2(i-/^)sz

Si on l'ordonne par rapport à S, elle se présente sous la forme

Z2S2 -AS -^22.32(54- 3 v/^)'^o,

(^•) On peut aussi trouver m par le calcul de la page io3 qui donne, en partie principale,

en même temps que X„ = — 6(v/7^3)^ donne

z„(s.-2lz:^)=,..3(.-v/^) =

comme le veut l'équation (i3i) et comme l'on vient de le trouver autrement.' Par là aussi, on peut trouver une première relation entre les deux coefficients

inconnus e, h. On aura, en effet, pour S^ voisin de t

c'est-à-dire

(.3.) e(il^ii^)-Hyi=-^(.-/=:^)'=a!i'(5-V^).

in. I o

l46 TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS.

avec cette expression de A

Le discriminant

s'offre, de lui-même, sous forme du produit de deux facteurs, dont le premier se trouve être un carré,

A + .^3(5 + 3,/-7)z=i(.,.-/:r^)[z-Mlz^i)l\

La théorie générale des équations doublement cpadratiques (t. II, p. 338) enseigne un lien entre ce discriminant et celui de la même équation, où Z est envisagée comme l'inconnue. Ces deux discriminants sont transformables l'un dans Tautre par une substitution linéaire. Le second discriminant contient donc, comme le premier, un facteur carré, et l'on trouve, en effet,

-^22.32s(s-^^-/^)[^iJ^s-(5-^3v/:r^)^]

Problème. — Trouver un binôme eS -f- A, de telle sorte que

(S-^a)3 (s-H^) -G(eS-hAj2S

soit un carré parfait y S étant la variable.

(') La rédaction d'Halphen s'arrête ici; mais les pages suivantes, trouvées daas ses papiers, comblent en partie cette lacune.