CHAPITRE II

On aura

Voici donc l'équation

î!i?! js. [(3 - ^:^) s -^ 4 (3 + /=7)] + ^

On a

Par conséquent,

J S(eS + A). - ^-^l:^ (s - îl^li^)' (s -^ /-7)

ol2 364/ — 7 I

±^s[s> + 3(7-i-v/-"7)S-^(9-5/=^)]v/-Sv/=^.

Si l'on pose S = — U* y/ — 7, il vient

^.îi^ U3 F- 7U»-}-3.7(i-/=^)U2- ^ (<J- 5/=^)]

l5o TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS.

OU enfin, en prenant le signe — par exemple,

U3 [u* - 3 (i - v^) U« + ^ZliSl

-. i /-, (3 v/^) Uv(u.-»-LzvEz) -.î!:^ J = o.

La décomposition relative au cas J = o devra se conserver dans l'équation en U, où déjà on a le facteur U^ dans la partie indépendante de J. Effectivement, si l'on pose U = -+- i , J = o, l'éqaation est satisfaite. On a donc le facteur U — i.

La seconde racine triple S = — ^^^ — - donne, d'autre part,

Substituant ces valeurs dans l'équation, pour J = o, on voit que c'est le signe — qu'on doit prendre.

L'équation eri U peut donc s'écrire ainsi :

Uafu

Telle est la résolvante de Gallois la plus simple 5 elle est obtenue en posant

Sur la multiplication complexe dans les fonctions elliptiques et, en particulier,

sur la multiplication par ^ — 23 (*).

Préambule.

Une des belles découvertes d'Abel, tout juste indiquée dans ses Œuvres, la multiplication complexe des fonctions elliptiques, a été, avec éclat, tirée de l'oubli par M. Kroneckeret par M. Hermite. Dès le premier travail publié sur ce sujet par M. Kronecker (^Monatsberichte y 1857), on voit apparaître, entre cette théorie et celle des formes arithmétiques, des liens si étroits que l'admirable création de Gauss semble imaginée tout exprès. Cette liaison ne se montre pas moins dans le Mémoire composé par M. Hermite à la même époque {Comptes rendus de iSSg). La multiplication complexe n'y est pas le but : c'est le moyen que M. Hermite emploie pour trouver, dans les transformations du septième et du onzième ordre, la réduite de Gallois. C'est dans ce Mémoire cependant, si riche en résultats nouveaux, qu'on voit, après les exemples élémentaires, la première collection de fonctions à multiplication complexe, calculées numériquement avec une élégance extrême. A la même époque, le R. P. Joubert (Comptes rendus de 1860) et M. Kronecker (Monatsberichte de 1862), dont les travaux, sur ce sujet, n'ont cessé de se poursuivre, ont donné aussi beaucoup d'autres exemples. Enfin, dans ces deux dernières années, la multiplication complexe a été l'objet de Mémoires im-

( ' ) Extrait du Journal de Mathématiques pures et appliquées, 4' série, t. V; 1889.

f52 TROISIÈME PARTIE.

portants, dus à M. Stuart (Quarterly Journal y t. XX), M. Sylow (ce Journal, 1887), M. Weber (Acla mathematica)^ M. Pyck {Math, Annale n) et enfin M. Greenhill (Proc, of London, Math, Soc. y 1888). Je n'ai point à analysericicesMémoires pleins d'intérêt au point de vue, soit de la théorie générale, soit des résultats numériques. Sous ce dernier point de vue, le Mémoire de M. Greenhill, tout récent, résume et dépasse les travaux antérieurs.

Pour la recherche effective des fonctions à multiplication complexe, sauf en quelques cas, comme la multiplication par ^'^ — 7

ou par y' — 15 (Hermite, Equations modulaireSy p. 55), on a employé, jusqu'à présent, des moyens détournés, quoique d'un grand intérêt : tantôt on utilise les équations modulaires déjà connues, tantôt on calcule, à l'aide des séries de Jacobi, les coefficients d'une équation résolvante. Ce dernier moyen, extrêmement curieux cependant, est bien étranger à l'Algèbre et surtout exige des opérations bien laborieuses. Le premier moyen conduit, en général, à des équations qu'il faut décomposer en plusieurs autres (') ou bien qui ne donnent pas aisément, sous leur forme définitive, toutes les inconnues.

D'ailleurs, quoi que l'on veuille penser de ces critiques, il était intéressant de chercher des moyens directs. Je me propose, dans le Mémoire actuel, de montrer, sur un exemple, l'emploi d'un tel moyen, si direct et si simple, en théorie du moins, qu'il suffira, pour me suivre jusqu'au bout, de posséder les premiers éléments des fonctions elliptiques. Afin de faciliter cette tâche, j'ai placé au début un exposé rapide des principes généraux de la multiplication complexe, ressemblant beaucoup à celui qu'a déjà fait M. S^Xovf.

L'exemple choisi est celui de la multiplication par y/ — 23. Il existe six fonctions admettant cette multiplication. Pour le

(') La cause de cette décomposition sera expliquée ici parmi les Principes généraux. Il y a plusieurs exemples, dignes de remarque, où cette décomposition est évitée par l'emploi d'équations modulaires irrationnelles; on le verra dans le Mémoire de M. Greenhill. Mais c'est là un accident heureux, qui se produit seulement en des cas dont le nombre est très limité. Pour obtenir une équation sans facteurs étrangers, M. Kronecker a indiqué une méthode générale, fondée sur l'emploi simultané de l'équation modulaire et de Véquation au multiplicateur.

FRAGMENTS DIVERS. l53

nombre aS, comme pour tous ceux qui sont de la forme 8n — i, ce qu'on a obtenu jusqu'à présent ne suffit point. Dans son beau travail de 1860, leR. P. Joubert, parmi beaucoup d'autres résultats, a donné explicitement deux équations, du troisième degré, dont chaque racine est égale, pour l'une des six fonctions, au produit du module par son complémentaire. Il resterait à trouver effectivement les modules, qui doivent contenir seulement une

seule irrationnelle, outre y/ — 23. Cette circonstance indique suffisamment que l'on n'a pas choisi l'inconnue la mieux appropriée. La même observation s'applique à l'équation, d'ailleurs très élégante, donnée pour le même objet par M. Greenhill. On pourrait d'abord être surpris de me voir exiger le module lui-même, quand on sait fort bien que le produit du module et de son complément définit explicitement les invariants. Il est vrai que le résultat obtenu par le R. P. Joubert suffît à définir ces invariants ; mais il ne suffit point pour faire connaître, sans nouvelle irrationnelle, la formule même démultiplication.

Au point de vue des résultats, c'est donc un complément que j'apporte à ce qui était acquis. Mais c'est surtout par la méthode employée que ce travail, sans prétention, mérite peut-être un instant d'attention.

Principes généraux.

Rappelons tout d'abord les principes.

Soit £ une constante qu'on désignera sous le nom de multiplicateur.

Soit u un argument variable; soit encore ç le produit de u par le multiplicateur.

On sait que, si e est un nombre entier, pç est une fonction rationnelle de pu. Le même fait peut-il se présenter pour d'autres valeurs de e?

Soient 2(0 et 2(1)' les périodes. Comme pu ne change point quand on ajoute ces périodes à l'argument u et que tout autre changement de l'argument, sauf le changement du signe, altère la fonction p; comme aussi pç doit avoir une seule valeur pour

l54 TROISIÈME PARTIE.

chaque valeur de pu, il faut que les produits de e par 2<i) et 2co' soient eux-mêmes des périodes, qu'on ait donc

(i) 60) =pa> -h ^a>', ea>'= ro) -+-50)',

p^q-t l'y s étant des nombres entiers. De là se conclut

(2) (/?aj -h ^a)')a)' = (ra) -i- 5a)')a).

Mettons de côté le cas où Ton supposerait

q = o, r = o, p = s = tf

qui est celui de la multiplication ordinaire, e étant alors un nombre entier. Pour tout autre cas, la relation (2) n'est pas identique. Elle exprime une condition entre les périodes : pour qiCil existe une multiplication y autre que la multiplication ordinaire y il faut et il suffit que le rapport des périodes soit racine d^une équation du second degré à coefficients entiers. C'est une condition nécessaire, on vient de le voir; suffisante aussi : pour s'en convaincre, il suffit d'observer que, £ étant choisi conformément aux égalités (i), concordantes d'après la relation (2) supposée, pv n'a effectivement qu'une seule valeur quand pu est donné.

Il s'agit de trouver l'expression de pv^ en fonction de jdw. Cherchons donc les pôles de cette fonction, considérée comme dépendant de u.

Des égalités (i) et (2), on peut tirer

to st3i — qi3i oi' pu)' — ra>

N = jD5 — qr.

En conséquence, les valeurs de w = -> qui rendent v égal à une

période, sont des IN**^*™" parties de période. Mais il faut préciser davantage.

On doit admettre que les quatre nombres /?, q^ r, s n'aient aucun diviseur commun. Effectivement, de ce cas particulier, on s'élève au cas général en multipliant e par un nombre entier, c'est-à-dire en faisant suivre la multiplication par e d'une multiplication ordinaire. Cette dernière ferait disparaître la simplicité qu'on va reconnaître dans la nature des pôles de pç^; la simplicité

FRAGMENTS DITERS. l55

tient . essentiellement à cette hypothèse, permise et nécessaire : /?, g, r, s rCont aucun diviseur commun.

Soient v le plus grand commun diviseur de 5 et de ^ ; [x celui de p et de r. Ces diviseurs appartiennent aussi à N. On aura

P\S\ — qi^i^^ n^ N = njJLv.

Sont premiers entre eux les nombres q^ et 5|, de même p\ et ri, et aussi |jl et v, suivant Thjpothèse qu'on vient de faire sur l'ensemble des quatre nombres/?, y, r, s.

Comme q^ et s^ sont premiers entre eux, on peut trouver deux entiers a et ^ par la condition

(4) 5iP — ^,a=:i.

Posant alors

on en conclura

/?! co' — Ti 0) = (/?i a — ri p ) 0)1 — (/?i 5, — q^ r^ ) to'i , égalité que nous écrirons sous la forme

en posant

(5) . A=/?ia--r, p.

Remarquons immédiatement que h et n sont premiers entre eux. On a, en effet,

hsx = PxSiOL — /"i^ip = p^SiOL — ^1(1 H- ^1 a) = na. — ri, " hq\=Piqi(^ — rxqx^ =/?i(^i? — — ^i^iP = rt^ — Pi-

Tout diviseur commun à A et /i diviserait donc r^ et/?i, qui sont premiers entre eux.

Puisque h et n sont effectivement premiers entre eux, on peut choisir un entier \ de telle sorte que h -\-\n soit premier avec un nombre donné quelconque, par exemple v. Mais, par l'égalité (4)j a et P sont déterminés seulement à un multiple près res-

l56 TROISIÈME PARTIE.

pectivement de Si et de q<. L'égalité (5) détermine donc A à un

multiple près de

n =pisi— riçi;

on peut alors choisir ce multiple de telle sorte que h soit premier avec V. Admettons qu'il en soit ainsi.

Les deux nombres h et [x étant premiers avec v, on peut déterminer des entiers y et o par la condition

vo — A[iY = ï' Gela fait, on a

hbii — 710) j -+- 71 V 8a)j = h((ùi -h nfiywi) et, si Ton pose

les expressions (3) de - et de - prennent les formes ci-après :

0} siU) — Çi^^' ^1 ^ '

— — — — — — OCO4 •

Par conséquent, en négligeant les multiples de la période ato'^,

«2(0 2tJ5 2VtJJ

I 20) ihbi 2\inhi

Ainsi — et — > à des périodes près, sont des multiples d'une

— et —

seule et même quantité -^ • Avec des entiers quelconques a' et P',

en posant

va'-f- fJiAp' = m, on aura, de même,

2a' 0) H- 2P'o)' 2mô)

c'est-à-dire un multiple de -^- Comme, d'ailleurs, v et jjlA sont

FRAGMENTS DIVERS. lOy

premiers entre eux, m peut être un entier quelconque. En conséquence, les valeurs de u qui rendent v égal à une période sont représentées par tous les multiples d^une seule et même quan-

tité-^y qui est la W*"^^ partie d'une période,

11 est très important de se rappeler Phjpothèse /?, y, r, s sans diviseur commun. Dans le cas opposé, en effet, la proposition serait en défaut. Au cas de la multiplication ordinaire, par un

entier M, les valeurs de w, qui rendent t; égala une période, sont

constituées par l'ensemble de toutes les M*'-*™*'* parties de période, et ces dernières ne sont pas les multiples d'une seule et même quantité. Si donc on multiplie e par un entier M, la proposition précédente disparaît à l'égard du produit Me. Elle constitue ainsi une propriété caractéristique de la multiplication singulière, réduite à ses éléments essentiels.

Connaissant les pôles dep^, fonction de m, il est aisé de trouver l'expression de pv^ décomposée en éléments simples. Soit effectivement

d'après l'égalité (7), il vient

D'autre part, pv développé suivant les puissances ascendantes de V fournit, à la partie fractionnaire, le seul terme —• Suivant

les puissances ascendantes de u\ on a donc le seul terme -r— r« • De là vient, dans la formule de décomposition, le seul terme

Si l'on observe ensuite que pv est une fonction paire de m, on trouve immédiatement le terme constant, qui restait à déterminer dans la formule de décomposition, et l'on a enfin

l58 TROISIÈME PARTIE.

Le rapport des périodes est supposé racine d'une équation du second degré, à coefficients entiers; soit

cette équation, où a, 6, c sont des nombres entiers, n'ayant aucun diviseur commun. Le premier membre constitue ce qu'on nomme, dans la théorie de Gauss, une forme primitive ; la qualification àe primitive exprime que a, fe, c n'ont point de diviseur commun.

Dans V ordre primitif (c'est-à-dire dans l'ensemble des formes primitives), on distingue Vordre proprement primitif et Vordre improprement primitif Le premier est celui où a et c ne sont pas, tous deux, pairs; le second est, au contraire, celui où a et c •sont pairs. Cette distinction, née de l'Arithmétique, est encore fondamentale ici, comme on va le voir immédiatement.

Le rapport des périodes est essentiellement imaginaire. Ainsi l'équation (9) a ses racines imaginaires; en d'autres termes, le nombre D, qui est son déterminant changé de signe,

(10) D = ac — 62>o,

est essentiellement positif. La forme (a, fe, c), c'est ainsi qu'on représente abrévialivement le premier membre (9), est donc une forme définie, nom que l'on donne aux formes dont le signe est invariable quand la variable est réelle. On pourra admettre que a et c, dont le signe est le même pour tous deux, sont positifs. La forme (a, 6, c) est, en résumé, une forme primitive et positive. Enfin, pour fixer les idées, nous définirons le rapport co' : co comme étant égal à la racine dans laquelle la partie imaginaire est positive, c'est-à-dire que le coefficient de i est supposé positif. Par conséquent,

et y/D est pris positivement.

L'équation (9) peut être mise, de diverses manières, sous la forme (2). Il y a donc diverses multiplications singulières pour la même fonction elliptique : parmi ces multiplications, il faut en choisir une, la plus simple, suffisante pour caractériser la singularité.

FRAGMENTS DIVERS. I OQ

Par comparaison avec Tégalité (2), on posera

( q — ka, — r = Xrc, p = kb -i- k', \ s = — kb — k', p — s = 2kb.

Les trois nombres a, 6, c n'ont point de diviseur commun ; il en va donc de même des trois nombres a^ ib^ c dans le cas de l'ordre primitif. Alors k est nécessairement un nombre entier, et k' aussi par conséquent. Au contraire, pour l'ordre improprement primitif, a, ib et c ont le diviseur 2. On peut donc prendre, pour A% la moitié d'un nombre entier ; comme, d'ailleurs, b est impair (sans quoi «, 6, c auraient le facteur 2), ik^ sera aussi un nombre entier, de même parité que 2 A*.

Nous avons maintenant, suivant (12) et (10),

(i3) N =/>5 — 5rr = X:'2h-X:2D.

Le minimum de N, pour l'ordre proprement primitif, est donc N = D, répondant k k' ^= o^ A* = di i . Pour l'ordre improprement primitif, c'est N = j(D 4- 1), répondant à db A' = dz A* = g-.

L'expression (i) du multiplicateur s, suivant (1 1), devient

Ce multiplicateur est toujours imaginaire, et c'est là l'origine de la locution : multiplication complexe*

Adoptons naturellement, comme la plus simple, la multiplication où N est minimum ; fixons, d'ailleurs arbitrairement, les signes de A et de A', et concluons ainsi :

Dans l'ordre proprement primitif [c'esl-hràxTe l'un des deux nombres a et c étant impair), le multiplicateur le plus simple e et le degré N sont

(i5) e=tVÔ, N=D;

dans V ordre improprement primitif (c'esi-k-dire si a et c sont pairs, tous deux), le multiplicateur le plus simple e et le degré N sont

(iG) £ = !(«+ i /Ô), N = {(D -h I).

l6o TROISIÈME PARTIE.

Pour un même déterminant D, multiple de 4 moins i , le degré le plus petit correspond à Tordre improprement primitif, qui offre, par conséquent, des calculs directs beaucoup plus simples. Comme on le verra par Texemple que nous allons calculer, on peut ensuite, par des opérations indirectes, passer à Tordre proprement primitif.

Diverses méthodes de recherche.

Jusqu'à présent, les fonctions elliptiques à multiplication complexe, ou fonctions singulières, ont été caractérisées par la condition (9), relative aux périodes. Le problème véritable est de trouver leurs modules, suivant Tancien langage, ou leurs inv^ariants, suivant le langage actuel. Pour résoudre ce problème, la voie naturelle est de faire disparaître les variables w, v de Tégalité (8), de façon à obtenir une relation entre des constantes, exprimables en fonction des invariants. On peut obtenir une infinité de telles relations.

Développons les deux membres (8) suivant les puissances ascendantes de u, égalons terme à terme les coefficients et nous aurons les relations dont il s'agit. Pour ce but, on invoquera le développement

Se souvenant que Ton a v ^ tu^ on conclut

irriLù

(17) ^. ï / fi N ï V iv'>'^^

Il suffit, bien entendu, de prendre la première de ces équations. En exprimant que les arguments des diverses fonctions p^\ dans le second membre, sont les multiples d'un même argument, que ce dernier est la N'"""" partie d'une période, on obtiendra, entre les invariants, une équation algébrique propre à résoudre le problème.

On peut procéder autrement : prendre les deux équations, ex-

FRAGMENTS DIVERS. l6l

primer les fonctions p" et p^^ au moyen de la seule fonction p, suivant les formules

employer la multiplication ordinaire pour réduire ces fonctions p au seul argument ^ et, sans avoir à exprimer que cet argument est une N'*-'"^ partie de période, éliminer cette unique quantité p :^ entre les deux équations.

11 y a d'autres moyens encore. Dans le cas, notamment, où N est un nombre pair, en mettant, au lieu de u, dans l'égalité (8), une des trois demi-périodes, on obtient une relation fort utile, comme je ferai dans l'exemple que je me propose de traiter ici.

Voici le fait qui attire d'abord l'attention. Dans l'égalité (8) et celles qui s'en déduisent, les seules données qui apparaissent sont e et N, c'est-à-dire, conformément aux expressions (i5) ou (16), le déterminant D et la distinction entre les deux ordres, proprement ou improprement primitifs. Aucun autre élément de l'équation (9), c'est-à-dire de la forme (a, 6, c) ne laisse de trace dans le calcul. Par conséquent, la totalité des formes, de déterminant D, donne en tout deux équations, bien distinctes entre elles, l'une pour Tordre proprement primitif, l'autre pour l'ordre improprement primitif (quand D est multiple de 4 nioins i).

Pour un déterminant donné, il y a une infinité de formes (rt, b, c). 11 n'y a cependant qu'un nombre limité de fonctions singulières, répondant à ces formes, puisque ces fonctions sont définies par une équation algébrique. Une infinité de formes répondent donc à une même fonction. Ceci tient simplement à ce que les périodes 20), 2(0' ne sont pas entièrement déterminées. On peut, en effet, au moyen d'une substitution linéaire, de déterminant unité, changer ces périodes en d'autres, qui leur soient équivalentes.

Soient 2ci)' et 20) deux autres périodes :

(18) â)'= aw'-h pw, w = Y^'"+~ ^^*

Pour que le couple (20)', 2(0) puisse remplacer le couple III. 1 1

l()i TROISIÈMK PARTIE.

(sèci)', 9.(ù), il faut que toute période s'exprime par une fonction linéaire de mo' et «j^oj, à coefficients entiers; ceci exige

ao — 3y "' ' ' ' •

De plus, pour préciser le rapport w' : w, nous avons été conduits à fixer le signe de la partie imaginaire dans ce rapport. Pour que ce signe se conserve dans w'i w, il faut que Ton ait ao — Py= -i-i, comme on le reconnaît par un calcul classique.

La substitution (i8) fait apparaître â)':w comme racine d'une nouvelle équation, analogue à l'équation (9). Le premier membre de cette nouvelle équation n'est autre que le premier membre de la précédente (9), transformé par une substitution linéaire, à coefficients entiers, de déterminant égal à -|- i.

Dans la théorie de Gauss, toutes les formes (a, 6, c), déduites d'une seule et même forme par de telles substitutions, forment une classe et elles sont dites équivalentes. Cette équivalence trouve ici son application naturelle : toutes ces formes correspondent à une seule et même fonction elliptique. Le nombre total des fonctions singulières qui correspondent à un même déterminant D est donc aussi celui des classes de formes primitives (proprement ou improprement), à déterminant — D. Si la théorie des nombres ne nous le faisait déjà connaître, nous apprendrions donc par les fonctions elliptiques que ces classes sont en nombre limité.

En restant dans les généralités, j'ai encore un mot à dire sur la méthode de calcul que j'ai indiquée tout à l'heure, pour la comparer avec la méthode classique, la méthode d'invention première, celle d'Abel, pour laquelle on emploie les équations modulaires.

Envisageons des fonctions elliptiques quelconques, ayant aco et çi(ù' pour périodes; puis d'autres fonctions elliptiques, ayant les périodes 2Q, 2Ù\ liées aux précédentes par les relations

(19) tQ -: pio - qiii'j eil' rzz ru) -i- sui'j

analogues aux relations (i); /?, q, /', s sont encore des nombres entiers sans diviseur commun, mais £ est une quantité tout à fait arbitraire. Les éléments de la théorie de la transformation, par les raisonnements mêmes que nous avons employés, montrent que

p{tu) est fonction rationnelle de Pu (nous désignons ici par P la seconde fonction elliptique, aux périodes 2Q, ^iï). Cette fonction rationnelle s'exprime, en éléments simples, sous la forme

m=zl

analogue à Tégalité (8).

Par le même moyen qui nous a fourni les relations (17), en employant des majuscules pour les invariants de P, on obtient

En considérant les seconds membres comme des fonctions connues de G2 et G3, éliminant e, on obtient une relation entre les invariants absolus gl l gl et Giî : G| (qui remplacent les modules dans les notations modernes). Cette relation (mise sous forme entière relativement à Go et G3, dont les seconds nombres sont des fonctions algébriques irrationnelles) constitue V équation modulaire relative aux transformations d'ordre N.

Dans cette équation modulaire, supposons Go =^2? ^^=^ gz- Nous retrouvons alors, au lieu des relations (19), les relations initiales (1), et l'équation ainsi obtenue, qui conlient alors un seul module, ou plutôt un seul invariant absolu, caractérise des fonctions elliptiques singulières. Mais s a disparu^ la seule donné(î qui subsiste est N. La disparition de s nous avertit que les multiplications ne sont pas nécessairement réduites à leurs formes les plus simples (i5) ou (16). Entre le déterminant D inconnu et le nombre donné N existe seulement la relation (i3). On trouvera donc ainsi, à la fois, toutes les multiplications complexes qui répondent aux déterminants D, de la forme

'*.k et 'j^k' étant des entiers quelconques, qui rendent D entier et positif. L'équation obtenue de la sorte est donc décomposable en plusieurs équations distinctes.

Au point de vue théorique, cette méthode présente divers avantages. Tout d'abord, elle a été la source de belles découvertes arithmétiques, comme on peut le voir dans les travaux de M. Kronecker. De plus, les équations modulaires ayant été très étudiées, on trouve par là plusieurs propriétés générales de la multiplication complexe. Mais, quand il s'agit de calculer effectivement des invariants singuliers, correspondant à un déterminant donné, cette méthode ne peut être approuvée. Une bonne méthode doit fournir directement, sans facteurs étrangers, Téquation désirée. Elle ne doit point exiger le calcul préalable des équations modulaires. Celle que j'ai indiquée plus haut satisfait à ces conditions : par la conservation du multiplicateur e dans le calcul, elle doit donner, pour chaque cas, une équation répondant uniquement à la question (*). On ne peut pas dissimuler cependant que le calcul effectif offre des difficultés : pour qu'il ne soit pas trop laborieux, on doit assurément user d'artifice, employer, par exemple, des relations surabondantes, comme je vais le faire dans le cas particulier dont j'aborde maintenant le calcul.

Multiplication par |(i-i- y/— aS). ^ Recherche

de la résolvante.

Je me propose de trouver les fonctions elliptiques singulières répondant à l'ordre improprement primitif, pour le déterminant 23. Je j)rends, à cet effet, l'une des formes correspondantes, la forme (2, 1, 12), supposant ainsi, entre les périodes, la relation

w'2 -r- (jJtx)' H- 6 W^ = o,

"^ iV^^*

9, iù' -r- (si

Dans la fonction elliptique correspondante, les invariants sont

(') D'après un des plus beaux théorèmes de M. Kronecker, cette équation doit se décomposer en autant d'équations partielles qu'il y a de genres différents, entre lesquels se répartissent les classes de formes ayant le déterminant donné et appartenant à l'ordre considéré. Le déterminant que j'ai en vue est un nombre premier; il n'y a donc qu'un genre dans chaque ordre; partant, point de décomposition.

FRAGMENTS DIVERS. l65

réels et le discriminant négatif. La demi-période réelle est eu, la demi-période purement imaginaire est 2(ù'-{- o). Ainsi, suivant les notations usitées dans le cas des invariants réels avec discriminant négatif, on devra poser

de là, pour les demi-périodes imaginaires conjuguées, les expressions

Les racines e<x, c'est-à-dire les valeurs de pu quand u est une demi-période, sont donc composées ainsi : Tune réelle eo^ correspondant à (1)2 aussi bien qu'à tù'^; les deux autres sont imaginaires conjuguées : dans c<, qui correspond à (Oi, la partie imaginaire est positive.

Je conserverai explicitement les demi-périodes w, w', avec la notation o)'^ pour leur somme, mettant, de plus, e, e', é' pour les trois racines correspondantes (^). La somme de ces dernières est nulle. On a donc simultanément

La lettre t désigne l'inconnue qu'on est naturellement conduit

à choisir. Nous savons dès maintenant que -. doit être réel et po-

sitif.

D'après les égalités (12) appliquées au cas actuel, en y prenant

des relations (i) et (2) on tire les suivantes :

eu) = to -{- a>', £0)' = — 610,

w a>' oi' w'

£ = 1(1 4- iy/23).

( ' ) L'obligation de considérer, à la fois, les diverses fonctions elliptiques contraint à restreindre la variété habituelle des notations : je réserve l'emploi des indices pour caractériser les autres fonctions, qui interviendront plus loin.

l66 TROISIÈME PARTIE.

La demi-période w coïncide avec w' et la formule (8) devient

(23) t^pv= I -^p(u- x)"^^(""^ T") -^-PC"-^')

tO '2 W ,

Posons, pour abréger (*),

(24) a=p—, b = pj,

remplaçons p" par 6^^ — ^g2 et déduisons de la première formule générale (ir?) cette équation

Je prends, de plus, l'équation qu'on obtient en supposant, dans la relation (23), 11 = w, ce qui donne, suivant (22),

par conséquent,

£2 e" r:r e -h e" — e' -h 2p ( W - 1 -f- 2p l W -— j lU— %V.

Nous poserons

A = {(s'e'-f- e'-e — e'') = {(E^e'^-h ie'),

en sorte que la dernière équation s'écrit ainsi

(26) 2A -i-a-i-6 = pfw— ~ j -hpf w —V

Par le théorème d'addition des demi-périodes, on a, suivant les notations (24),

(27) p^co- ^j -t-p^

2(u'\ ie — e')(e — e''){a~\-b — ^.e)

(') L'emploi des lettres a et 6 ne peut entraîner aucune confusion avec la notation générale (a, 6, c) des formes quadratiques, sur laquelle nous n'aurons plus à revenir.

Le second membre (26) étant maintenant exprimé au moyen de Cl et h, il ne faut plus qu'une relation entre a et b pour éliminer ces quantités des équations (20) et (26). Cette relation est immédiatement fournie par les expressions (24) de « et b

On en conclut, par le théorème d'addition des demi-périodes,

ce qui est la relation demandée. Je m'en sers immédiatement pour modifier le second membre (27) par le calcul suivant :

Ajoutant, membre à membre, avec (28), on conclut (a-- €)(b — e) = {e' — e)(a-r- b — e— e" ) = ( e' — e){a-^ b -^ e').

La relation (27) devient donc

co"