C-^{e'-e) (e'— e") ^ Se'*— -- g^ = ie'^-^- eé

Les équations (26) et (9.7) sont les suivantes :

Avec l'équation (3o), on en tire

/ .jie'(CT+-è)=2e'2-f-B— 2G — A2=r. B — A«- - 2e'2— 2ee',

/ (a-+-6)2rr.2B — A2.

L'élimination de (a + b) entre ces deux dernières conduirait à une équation du quatrième degré par rapport à Tinconnue t. Cette équation contiendrait un facteur étranger, tandis qu'en substituant (a -4- b) et son carré dans (29), on obtient une équation du troisième degré

(32) A(B — A2— lee") -h e'(3B — aA^-f- lee" ~ ie'^) -= o.

C'est l'équation que je voulais obtenir. On y devra substituer, pour A et B, leurs expressions (3i), en se souvenant qu'on a

— i ^2 = ee' -h e'e"-f- e" e = e'e"—e^.

Elle devient, de la sorte, homogène et du troisième degré, en e, e', é' , Par le mojen des notations (21), on aura une équation du troisième degré en t.

Le développement de cette équation exige encore des calculs assez longs. Il convient donc d'avoir un guide et un contrôle par la connaissance préventive de quelques traits essentiels.

Remarques sur la résolvante.

La présence de s dans A et B entraîne, pour les coefficients de

l'équation, la forme complexe a -f- i^sj'ii^ a et p étant des nombres entiers. Or nous connaissons l'existence d'une racine t^ purement imaginaire. 11 est donc naturel de prévoir, pour l'équation, la forme

(33) iV23(a«3|.p^)|,^^2 u.a = o,

où a, p, y, 8 seront des nombres entiers. Je donnerai, dans un instant, la preuve véritable de cette propriété. Ce qui importe le plus, c'est de savoir à quelles fonctions elliptiques singulières se rapportent les autres racines t.

D'après les éléments de la théorie des formes, il y a, outre (2, 1 , 12), deux autres formes réduites, dans l'ordre improprement primitif, de déterminant — 23. Ce sont les formes (4, i, 6) et (4, — ijS). Envisageons d'abord la première, que nous distinguerons en affectant de l'indice 1 les éléments correspondants. Il

IJO TROISIÈME PARTIE.

s'agit donc des fonctions elliptiques pour lesquelles on a

(3î) ' EWi = Wi -i- 2Wj, £tUi = --3W|,

L'argument w de la formule (8) est ici (ù\ + 3 w, .

On formera, comme précédemment, l'équation supplémentaire, en prenant m = (o^, ce qui donne aussi (•= w^. Les lettres a et h auront les significations suivantes :

'>.^..Ci

«1 == Pi -3- y 01=- p^[ -JL-r-o)i).

Moyennant ces conventions, on voit immédiatement qu'on obtient les mêmes équations que précédemment, sauf remplacement de e, e\ e!' par e'^, é\^ e^.

Notre équation du troisième degré a donc une racine ^< définie par les égalités

/or ^'l __ I ^1 l

Cette racine est complexe et nous verrons même, ultérieurement, que Ton peut assigner, d'avance, son expression en fonction de la racine précédente i,

Semblablement, la forme (4, — ' > 6) donne lieu à des fonctions elliptiques caractérisées par les relations

(33) ^ £W2 = ^ojg, £^2 = — 3102-T-W

£ 6 sa

L'argument w est (02 — 2a>'.,. On obtient l'équation complémentaire en prenant u =^ w^, ce qui donne v zzn (o'!,. Les lettres a et b ont les significations suivantes

et Ton reirouve les équations primitives, sauf remplacement de e, e' ^ e" par e'^, ^2? ^2' Notre équation, du troisième degré, à donc la racine t^^ définie par les égalités

En comparant les fonctions d'indice 2 et celles d'indice i, on voit que les rapports des périodes, au signe près, ce qui est indifférent, y sont imaginaires conjugués. Les invariants absolus sont donc aussi des imaginaires conjuguées et il est manifeste que les deux rapports e^ le\ et ^2 1 ^2 ^^^^ dans ce cas. Ainsi t^ et — ^2 sont' des imaginaires conjuguées. Nous rappelant ce qui a été dit précédemment sur la première racine t, nous pouvons conclure

que les trois quantités -7> fournies par les trois racines /, sont Tune

réelle et positive, les deux autres imaginaires conjuguées. Par là est pleinement justifiée la forme (33), prévue pour l'équation.

Voici encore un autre mojen de trouver ce même résultat. Comme on Ta vu par l'égalité (i4). "i^c même fonction elliptique admet à la fois les deux multiplicateurs e et i — e et, pour tous deux, le nombre N n'a qu'une seule valeur. On peut donc former l'équation tout aussi bien en se servant du second multiplicateur et l'on reconnaîtra qu'il y a simplement échange entre e^ ete". Par le changement de s en i — e, c'est-à-dire par le changement du

signe de «y23, la racine t se change en — l; il en est de même pour les autres racines. Cette circonstance exige la forme (33) de l'équation cherchée.

Pour une même fonction singulière, les deux multiplicateurs conjugués, £ et — s dans le cas de l'ordre proprement primitif, s et — (i — e) dans l'autre cas, coexistent toujours. Ce fait général, conséquence de l'égalité (i4)ï explique, de nouveau, pourquoi deux formes opposées, comme (4, i, 6) et (4, — i, 6), donnent lieu à des invariants conjugués, avec cette conséquence, bien connue, que les invariants réels proviennent de^^» formes ambiguës, comme (2, i, 12), c'est-à-dire des formes proprement équivalentes à leurs opposées.

Une dernière observation avant de calculer notre équation. Si l'on ne savait déjà, par la théorie des formes, que Tordre impro-

lyi TROISIÈME PARTIE.

prement prîmilif contient, en tout, trois classes pour le déterminant — 23, le degré 3 de l'équation nous le ferait connaître. Il est évident, en effet, que, s'il existait d'autres classes, le même calcul s'y appliquerait, entraînant seulement quelque permutation dans les accents de e, e', e'^. Ces classes fourniraient donc nécessairement des racines de la même équation.

Développement de la résolvante.

Dans le développement de l'équation (32), j'utiliserai la forme démontrée (33), non pour abréger le calcul, mais seulement pour le contrôler. Soit U le premier membre

U = A (B— A^—iee') -t- c'(3B — 2A«-^ ^ee'— 2e'«), où l'on prendra

Soit aussi V le premier membre, sous la forme désirée (33),

On doit s'attendre à ce que U diffère de V par un facteur complexe [X 4- IV y 23 , et chercher à mettre ce facteur en évidence.

Au lieu de développer complètement U, il est préférable de calculer séparément U pour des valeurs particulières de t.

En se servant de la relation

e*-^ iieJ-4 36 = o, on a

2'.3.5AB = ne* -H i26* = — 109 6*~ 2*.3*.ii, 2^A' — — s* = — 5.17e' — a*.3'.ii.

2'ee'A= e* =-+- s*.

Désignant par U| la valeur de U correspondante, on trouve ainsi 2» /=r — i, e'=~ I, ^"==0, ^2 = 4. A = — f

FRAGMENTS DIVERS. ] jS

Le calcul est extrêmement simple. Désignant par U'^ la valeur de U, je trouve

•2^. 3.5 U'i — 7.11(9 -f- 2e*), t = — |. J'en conclus

^''•^*'\ui-i-Ui) = 3(36 4-5£2) = |(i7-i-5tV23),

(U', — Ui)==36--- i7£2 = -1^/23(174-5^/23).