V -^ 7tV23(23. 19/3— ap^) 4- .^î^ti—V

et les égalités (i()) donnent

L'équation clierchée est donc enfin (./,<)) V(^) = o = 7tV23(23. 19^3—2.32.70 -H 3(22.317/2— 32).

Les trois multiplications par J(n-v^— 23).

Pour résoudre Téqualion (4o), le changement d'inconnue, qui s'oflVe d'abord, est indiqué par l'égalité

(il) ^^'l'it — iz,

par 011 l'é(juation devient

Pour la réduire à trois termes, on posera

ce (|ui mène à récjuation finale

Comme on le verra plus loin, il y a des raisons de savoir d'avance que la racine carrée du discriminant de l'équation doit contenir

i\' '^'d comme seule irrationnalité. Il en est bien ainsi; car, R étant le discriminant, on a, pour l'équation (44)?

Soient

(45) ff= l/^'>,3v/23-f-^3v/3, h -. i f 23v/23— -3v/3

des racines cubiques prises dans le sens arithmétique et pour lesquelles on a

gh ^ 53.

La racine réelle de (44) ^^t

Les deux autres x^ et X2 s'en déduisent comme on sait : pour la première, on remplace g et h par ^g et ^^h; pour l'autre, par ^^g et 6A, et est une des racines cubiques imaginaires de l'unité. Afin que les indices i et 2 correspondent à ceux qui ont été adoptés plus haut, pour ^,,il y aura lieu de préciser 0. Je le ferai plus loin, et, dans les formules ci-après, je suppose, par avance, le résultat.

En posant donc

( U> ) ; 72 /I3 -4- 25( 6^ -h 02/0 = c„ 6 = Ill±iy^ ,

on pourra exprimer, par une même formule, chaque racine t en fonction de la quantité correspondante c. Les quantités e, e', e",

dont Tune est arbitraire et dont la somme est nulle, sont déterminées par la condition

tu '

e — e Cki

En vertu de l'homogénéité, le choix arbitraire de e est indifférent. Je prendrai donc

pour le cas de l'égalité (20), ou, en d'autres termes, pour la forme (2, 1 , 12); puis, en permutant les accents comme il a été expliqué et comme le rappellent les égalités (35) et (S^), on aura

(48) e\^ici, e'; = 9if — c,, ei=^ — ^i — Ci,

dans le cas de l'égalité (34), correspondant à la forme (4, ij6); puis enfin

pour le cas de l'égalité (36), correspondant à la forme (4, — i, 6). Ces permutations des accents se rapportent seulement à la désignation arbitrairement uniforme des périodes dans les trois cas. Elle disparaît dans l'expression des invariants, que voici :

A = ^1 - 27^1 = - 26.3Hc2-i- 32)2;

Je vais, dès maintenant, fixer le signe de la partie imaginaire dans ô. On verra, plus loin, un moyen purement algébrique pour cet objet. Quant à présent, je vais employer les séries S, formées

/TCW

uniformément avec la quantité q = e ^ . En posant donc

j'aurai, pour chacun des trois cas [(20), (34), (36)], q=e ■2"Q2, q,= e * Q, ^2=e'^"*"Q.

Prenons la formule (où les fonctions 2r ont l'argument zéro)

pour l'un ou l'autre des deux derniers cas. Comme Q est inférieur à e~'^ = 0,04..., les signes de la partie réelle et de la partie imaginaire sont définis par le terme 9.'^ q du second membre

f = 2*e * Q-h...= 2V2(i — OQ-^-----

11 n'y a aucune utilité à considérer l'égalité analogue avec les indices 2; elle fournirait, de part et d'autre, les quantités conjuguées des précédentes.

Suivant les expressions (48), il vient, en supposant C| = a -t-t^,

d'où résulte que ^ est positif. Mais, d'après (46), on a

Comme (^ — K) est positif (45), il faut effectivement choisir 0, ainsi que je l'ai fait plus haut.

Transformations du troisième ordre.

Nous possédons, dès à présent, la pleine connaissance de tous les éléments pour les trois fonctions elliptiques singulières; car les six quantités a, 6, «i, &|, a^^ 62 sont explicitement fournies par les équations (3o) et (3i a). Nous pouvons en déduire six autres, jouant le rôle analogue à l'égard du multiplicateur conjugué. Comme on le voit par les équations générales (3) et (12), où l'on prendra Â: = — ^, //= j, ces quantités sont les suivantes

et les a ont les arguments doubles. Les formules ci-dessus mon- III. 12

trent suffisamment que le changement du signe de i change a et h en a! et h\ a^ et h\ en a!, et è'^, <72 et 62 en «'^ et 6, .

Les six quantités 6, 6', 6j, 6',, 62? ^'2 servent de base à des transformations du sixième ordre, deux pour chaque fonction elliptique, et ces transformations changent la fonction en ellemême.

Les quantités a, a', ... peuvent servir de base à des transformations du troisième ordre. Ces dernières échangent les fonctioDs les unes dans les autres, comme je vais le montrer.

Désignant par p un facteur inconnu, posons

pa)'=:3ui2, pw = — Oij.

Les relations (11)

T> W'-I- (0 I9.t0 -I- {Si

Ui (Jt>

se changent en les suivantes

6t02— t^2 __ 4 ^\ — to a __ ^. /— ,

d'où Ton voit que le facteur p peut être choisi effectivement de manière à attribuer la même signification que précédemment aux lettres W2 et w^. J'ai ici une transformation de troisième ordre, qui se figure par la relation

ato

En prenant successivement u = w', w, w'', j'obtiens

p«e2 =e H- 2pf (0 --j — aa,

et Ton remarquera, en passant, que, par addition de ces trois égalités, se prouve, derechef, la relation (29a). De là, suivant les

égalités (3o) et (3i), je conclus

{e-e'Me^e")

ps^j = 3e — aa -h 2

p2 e'j = e" -r-ie —ia-{-7,

(a — e)(6 — e) et cette dernière, comme on Ta vu plus haut, se change ainsi

p2(e, — Co) = 6 — e -H 2 7 -, =(e~ e ) ,

Remettant, pour A, son expression (3i), j'ai enfin

g^ ___ e''{a-^b-^ie' -^\ ^^e") e'.2 — e'2 ~ 2{e — e"){a-^b -t- e')

C'est là une formule qui donne la quantité C2 en fonction rationnelle de c, avec adjonction de e, bien entendu. Disons, pour abréger, que nous avons trouvé C2 = cp(c).

Par un calcul tout pareil, en posant successivement

PiOj\=3ojj pjWj = — (I) — to,

p2Ui2 = to\ -h 2t0i, p2a)2 = — (Oj-htOi,

on trouve aussi c = f (c^), c^ = ^(^2). En changeant le signe de /, on aurait les analogues

Ces formules traduisent le caractère abélien, qui appartient, comme on le sait, à toutes les équations dont dépendent les fonctions elliptiques à multiplication complexe. Elles donnent la raison a priori de ce fait que le discriminant de l'équation est un carré, sauf le facteur — 28. ^

Transformations du second ordre.

Je vais maintenant examiner, pour une quelconque des trois fonctions singulières, les trois transformations du second ordre :

l8o TROISIÈME PARTIE.

de ces transformations, il y en a deux qui échangent les fonctions précédentes, tandis que l'autre transformation conduit à une fonction nouvelle, correspondant à V ordre proprement primitif. Les six transformations, qui échangent les fonctions précédentes, sont naturellement inverses, deux à deux. Elles se distinguent, dans les formules ci-après, par l'emploi de la lettre o- pour les coefficients de proportionnalité, et cette lettre, avec ou sans accent, pourvue d'un même indice, se rapporte aux deux transformations inverses. Pour les trois autres transformations, le coefficient de proportionnalité est dénoté par la lettre t, et les éléments des nouvelles fonctions sont indiqués par des majuscules. Voici les formules :

Jl(l) — tt»!, (S2(i)' := '^Wj,

(iO)

j| a> = Oui ^1 w = 2t0j — toj,

Tw — lilj Tto' = S2' — 12;

(J(Oi =(02 — W2, «Jw'i =(iJ2-i-W2,

Jj Oi| = 2(0, (Jj (o'i = (o',

Ti(Oi = ii'j, Tico'i = 'ilii ;

Jl(02 = 2(0, (Ji(02 = (0'-+- OJ,

(j'(02 =(Oi-h(0|, ^ ^2 = — (Oi-+-(Oj.

T2(02 =— ii'î, T2Wj = 2S22;

i aj' = Ji j. = J2 ^'2 ^^ ^•

Les trois nouvelles fonctions correspondent aux trois formes réduites (i, o, 28) et (3, ±: i , )

ll'2-l- 23122 r^ o,

3 li',2 — 2 ûi ly, -t- 8i2;=:=o, 3 12 ,2 -H 2 lia ii'2 -i- 8122 = 0.

Je considère la première de ces transformations. Elle est Iraduile par l'égalité

<ji Pi (^2 W) = P W -H p( M — (o') — p (o',

d'où l'on déduit, en prenant successivement, pour m, les valeurs

clci = e -h e"— e' = — 2 e'y

e\ = e'dz 2 v/(e'— e){e'— e"), j|6'l = e'zp 2 v/(e'-e)(e'-e"),

FRAGMENTS DIVERS. i8l

;e qui mène à la relation bien connue

e' Cl

La seconde transformation donne, de même,

Introduisant les racines f, ^,, ^2? d'après (21), (33) et (37), on a ainsi

i 4 s/t{it — ^) Z — itx

I lt \ -\- Itx

H- 2 / 1 — ih

Les quatre autres transformations analogues conduisent à des formules que l'on déduit aussi de ces dernières par la permutation circulaire des indices.

J'ai annoncé un moyen, purement algébrique, de distinguer celle des deux racines cubiques deTunité qu'il faut désigner, dans les formules ci-dessus, par 0. Le voici. Tout d'abord, substituant, à la place de x^ dans le premier membre (44)? successivement

les deux nombres 3 et f|, on trouve, pour résultats, — 17 et

H ^^ La racme réelle x est ainsi connue, a moins de ^

près, et l'on voit que c est compris entre i45 y/aS et i47 y/âS. Prenons l'égalité (5i) qui donne

Cl — 3 1 J — 6 lï c — 3 1 )