III
Vu la grandeur de c, les quantités c — 3i et c — gt peuvent ici être remplacées, pour fixer les signes, par c lui-même; et l'on a sensiblement
Si Ton pose C2 = a + t p, on a (46)
l82 TROISIÈME PARTIE.
quantité positive, x étant inférieur à y|. Par conséquent, dans
Cl- 3t a-4-t(P — 3) g'-f- P'— 27-1 -6^ — lata Ci-i-9* ~ a-+-Hp-t-9) "" â*H-(P''-T-9)2 '
la partie imaginaire est négative, d'où l'on voit déjà qu'il faut prendre le signe plus devant le second membre (53). On doit donc avoir
aî up2 2j t-63>o.
Or, en remplaçant t par - - dans l'équation (4o), on trouve
CCiC2= 33.7. 19 /23.
D'après la grandeur de c, il en résulte C| C2<C 3', c'est-à-dire
En conséquence, p est positif. C'est à quoi j'étais parvenu précédemment, pour en déduire la détermination précise de 8.
Ainsi qu'on l'a vu par les transformations du troisième ordre, t^ et ^2 s'expriment rationnellement en fonction de t^ sauf adjonction de e. Les deux quantités 4/ — ^^— peuvent donc être exprimées de la même manière; c'est ce que je vais chercher à faire. Soient
. A^-3 /'2ti---d ^ fit
ces racines carrées étant prises avec les signes que leur attribuent la première égalité (Sa) et ses analogues. Recourant à l'équation (4o), dont ^, tt^ to sont les racines, j'ai
D'ailleurs, par l'égalité (02),
FRAGMENTS DIVERS. l83
et ses analogues, multipliées membre à membre, j'ai aussi
ssiS2 = — r — ^-^ — ^-Vt;
8 V(o)V(-i)' par conséc|uent,
Les équations (Sg) nous offrent, calculées déjà sous la dénomination de V| et V'^, les quantités V(ih^), savoir
Il en résulte
Une vérification s'offre naturellement par le calcul direct de V(|) qui, d'après (54), donne
(55,52)* = -25(79-+-3.7tv/23) = 2*(7 — 3tv/îï3)2. De la même égalité (52) je lire encore le résultat suivant
^ ' 4^ St ^\ 3 — 2 tij
OÙ V désigne la dérivée de V, et où le signe sommatoire s'applique aux trois racines. Par un calcul direct, on a
quantité qui doit être divisée par V(|). Le calcul précédent a donné V(f ) sous la forme
V(|)=-l(3 + tv/i3)* = -
(3-tVS)**
La division s'efTeclue donc de la manière la plus simple, en
l84 TROISIÈME PARTIE.
multipliant successivement par 3 — isf^ ,
( 3i7-+-5«.7tv^)(3 — iv/^)=: 2*( 3ii-+-i3iv/23), ( 3ii-h i3tv/23)(3 — tv/23)= 2H7. II — 171/23), (7. II— I7iv^)(3 — tv/^)= — 28( 5-h2U'v/23), ( 5-f- 2n*v/23)(3 — 1/23)= 107 -H 7^/23;
D'après l'expression de 5, on a, d'autre part,
st Zs
J'ai donc ce résultat, que j'avais en vue d'obtenir,
Soit maintenant
(56) 53-N52-t-M5 — 2«(7 — 3tv/23) = o
l'équation dont 5, 5,, 52 sont les racines. La précédente relation donne
7 — 3iv^23 2
Ce sont ces deux coefficients M et N dont la détermination fournira l'expression, que je cherche, de s en fonction rationnelle de t. On peut tirer encore de l'égalité (62) deux autres équations du premier degré entre M et N par le moyen suivant. Elle donne immédiatement
D'ailleurs,
FRAGMENTS DIVERS. l85
En désignant par F (5) le premier membre (56), on a, de la sorte,
F'(2i) F'(—ii) T I V'(— i)
t\'ii) h\-ii) 2 3 V(-i)
Pour revenir de l'équation (56) à l'équation en t^ il faut chasser l'irrationnelle s. On a donc identiquement
où X est un facteur constant, 5 et ^ étant deux variables liées par
la relation
En différentiant, je conclus
(2 — 5»)g IFXO F(— ^ )] Vit) 3 6s lF{s) F(— 5)J ~ V(^) t
puis, en prenant 5=2/,
F'(ii) F'(— 2O iYi\)
Fiii) F(-ii) 3 V(i)
La connaissance des deux quantités -^jzf — ^ procure les deux
équations du premier degré dont j'ai parlé. Me contentant d'avoir indiqué ce moyen, je vais en employer un autre, encore fondé sur
la relation (58). Substituant dans V(^) l'expression t= ^ > on a l'équation
dont le premier membre doit reproduire
--F(5)F(— 5) =52(52-4- M)2 — [N5î4- 22(7 — 3 tVâ3)]^
De là deux équations
M2-23(7-3iV53)N= — 28(157 — 72^-/^)
= -22(7 — 3tV23)(5.7-4-tVâ3).
l86 TROISIÈME PARTIE.
Entre celte dernière et l'équation (67) éliminant N, j'obtiens
équation du second degré donnant les deux racines
Une seule convient, que l'on distingue immédiatement comme devant, par l'équation (Sg), fournir, pour N^, un carré parfait. On trouve ainsi
M = 2(19-}- 4/23), N -: 17-}- 3tv/23, F(s) — s^ — 1752 -t- 2. 195 — 2^.7 — i^'iS (352 — 2S — 22.3):
tel est le premier membre de l'équation cherchée. Si, de même, on pose
ces quantités sont les racines de l'équation (p(s')= o, dont le premier membre est conjugué du précédent,
*(5')=5'3— I75'2-H2.I95'— 2Î.7-hlVâ3(35'«— 25'— 22.3).
Par là sont exprimés, comme on le voulait, 5 et 5' en fonction de t. On a, en effet,
,^ , N52-^22(7— 3iV^) (61) s= -^^^-- -S
égalité où l'on mettra, au second membre, à la place de s^.
Pour s\ on prendra la relation analogue où l'on mettra à la
place de s'^.
C'est en vue d'effectuer complètement les trois dernières transformations du second ordre que j'ai calculé F et 4>. J'arrive à ces transformations.
Les trois fonctions de l'ordre proprement primitif. Aux périodes 2Û, aÛ', définies par ks relations (5o),
TCO = 2Û, TW'= S2' — Û,
correspoDd une nouvelle fonction Pw, dont je dénote les éléments
par des lettres majuscules. La transformation conduit, par le
même calcul que plus haut, à la relation suivante, analogue de
Tégalité (5i),
Le premier membre est, en valeur absolue, égal à
quantité réelle, puisque t est purement imaginaire. D'après la nature de la fonction P, dont les invariants doivent être réels et le discriminant positif, les trois quantités E, E''', E' doivent être réelles, rangées ainsi en ordre décroissant; de plus, le rapport Q': iù étant supérieur à l'unité, E'^ est négatif, et l'on aura
( 62) -^„ - = v/9-4^2 = itss' ;
le signe est ainsi choisi, parce que s et s' sont des quantités conjuguées, comme il résulte du calcul précédent, et que it est réel et négatif.
Ayant obtenu s et s' en fonction rationnelle de ^, nous avons donc, sous la même foqne, les éléments nouveaux. Mais il faut réduire leur expression à la forme la plus simple, et, pour ce but, je vais exprimer tss' par une fraction du premier degré. Soit
la fraction cherchée. Ayant mis la relation (61) et son analogue
sous la forme
on conclura que l'égalité
t^ H TT' G "" ^
a lieu en vertu de l'équation V= o. Le premier membre est donc
l88 TROISIÈME PARTIE.
KV
divisible par V, et doit avoir la forme t^tT ' ^^ '^'
(63) ^îTp = H,
ce qui doit être une identité. 11 s'agit donc de trouver les deux polynômes du premier degré G et K par la condition que le numérateur soit seulement du troisième degré au lieu du quatrième, qu'il soit en outre divisible par TT'. Le quotient, du premier degré, sera le binôme H.
En substituant dans l'égalité (61), on a d'abord
S = ^[N5«-4- 2^(7 — 3t v/âl)! = 2.3i t— 3. ly — 3{it-h 3)tV23, T = t{s^-hM) = 'i^,5t — 3h-2iV/23, S' = 2.3i^-h3.i7 — 3(2^ — 3)/ /^J j T'= 23.5^-1- 3 — 2eV\/23,
Pour T = o, on a ainsi
on doit donc avoir
(64) S'G-f-KS-o rdiv. T) et, semblablement,
(65) SG — KS'-o (div. T').
Au moyen des égalités
(22.5 — iVâ3)T — (2'.5-f-iV23)T' = -23.3.5,
on peut exprimer S et S', sous forme linéaire et homogène, en T et T'; on trouve ainsi
S = (11 -+-i/;i3)T — 2(3-4- iv/â3)T', S'=-2( 3-iv/â3)T-f-(ii.-tVâ3)T'.
Par là, les deux conditions (64) et (65) deviennent
(ji — iv/23)G — 2(3-hi/Ï3)K = o (div. T), (in-tv/23)G-i-2(3 — i/23)K^o (div.T).
FRAGMENTS DlYERS. 189
Si donc on pose
G = yT -+- y'T, K = >tT -h k'T, on obtient les conditions
(il— 1/23)7'— 2(3-+-iV'^)^' = o, ( 1 1 -+- i v/23 ) Y -+-2(3 — i ^23 ) A" = o.
En exprimant enfin que le terme du quatrième degré disparait dans le numérateur (63), on trouve la dernière équation
2^.73 [(20 + i\/iZ)^(-\- (20 — «V23)y']
Les équations précédentes fournissent
Substituant dans la dernière et prenant arbitrairement un cceffîcient de proportionnalité, je trouve
