LES SERIES

Avertissement. — Recherche d'uoe série ayant les mêmes propriétés que ru rclatÎTement à la périodicité. — ConTergence; choix des périodes. — Démonstration directe de l'équation à trois termes. — Identification de la série avec ru.

— La série 2r,. Expression de 7\u) et de m. — La série 2r,. Expression de r, a. — La série 2r,. Expression de r,u. — La série 2r,. Expression de T,a. — Résumé des relations entre les Sr et les r, — Observations sur les séries Sr. Diverses notations usitées. — Addition des demi-périodes et des périodes dans les Sr.

— Séries Sr avec l'argument zéro. — Expression des trois quantités e ^ rtù par les 2r. Première identité. — Première expression de e,, c,, c, par les 2r. Seconde identité. — Seconde expression de e,, e,, e,. Expression du discriminant. — Expression des Sr par les r. — Changement des périodes : équivalence.

— Échange des indices de e^y e,, e,. — Changement des périodes dans les fonctions d. — Résumé des formules pour le calcul des fonctions r. — Calcul de g. Cas A > 0. — Calcul de u, connaissant pi/. Cas A > o. — Calcul de g. Cas A < o.

— Calcul de i/, connaissant pu. Cas A < o. — Observations sur les cas particu-

— lu -lui liers où ^ a les valeurs e~*, l'e * , le * .— Expression de ^.parles fonctions

Sr. Remarques. — Fonctions elliptiques à invariants imaginaires. — Manière

dont varient les fonctions ^ d'arguments réels.

AYartiflsament.

On trouvera, dans ce Chapitre, la représenlation des fonctions elliptiques par les belles séries dont Jacobi doit être considéré comme Tinventeur, séries éminemment utiles pour les applications. Elles ne doivent être, en général, introduites qu^à la fin des calculs. Pour cette raison, les formules nombreuses et un peu compliquées qui vont être développées sont destinées à être consultées seulement. Il serait inutile de les retenir de mémoire; il suffit d*en bien connaître la nature.

Recherche d'une série ayant les mômes propriétés que -^u

relativement à la périodicité.

La fonction o-a, à laquelle nous sommes parvenus en avançant progressivement dans l'élude des fonctions elliptiques, offre sur les précédentes X^u ei pu l'avantage de rester toujours finie, quelle que soit la valeur attribuée à la variable. Aussi doit-on espérer pouvoir la développer en série plus aisément que les autres. Nous verrons bientôt comment elle se développe suivant la série de Maclaurin. Mais on doit désirer surtout un mode de développement qui fasse apparaître la propriété caractéristique

A cet effet, prenons la combinaison

on aura

A cause de la relation

T,(0 Ti (O = >

l'exposant de la dernière exponentielle pourra s'écrire

et Ton aura

XA i> (O

fa)

Le dernier facteur va dorénavant jouer un rôle important; nous poserons

Si nous écrivons aussi