CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES ^. a^I

nous avons

Q Al*

Si nous remplaçons aussi, dans/(M), la variable u parla variable :;, en écrivant

ces deux équations deviennent

La dernière de ces équations éloigne, pour ^(z)^ toute idée de développement à la manière de la série de Maclaurin. Elle fait naître, au contraire, la pensée de développer <f{z) en une série double comprenant à la fois les puissances à exposants entiers positifs et négatifs de s. D'ailleurs, d'après la première relation (6), la fonction est impaire, et Ton ne devra envisager que des exposants impairs. On doit donc essayer de trouver un développement tel que celui-ci :

Il nous donne

l ^ qz ^qz^ '^-3» «» » ^^î/i-4-i

Par conséquent, la seconde relation (6) impose les conditions

Ci= — Ciçr», C5 = — CagS C7 = — Cj^r», ..., Cj^^-j = — C,n4-l î'*^"^*'

C, =— Cl, C'3 = — c'iÇr», Cg=— Cj^*, ..., c',„+i= — ci^j.j^»".

De là se conclut

c\ = — Cl,

Ci= — Cj=Ci^«,

Nous trouvons donc, comme satisfaisant aux deux conditions (6), la série

En remettant pour 5 son expression en w, invoquant la formule

d'Euler

c'** — €"'*» = a i sin a,

et changeant la notation du coefficient arbitraire C|, nous avons cette autre forme

/( m) = G sin 7» sin h a« sm h . . .