CHAPITRE YIII. — LES SÉRIES
Cette condition satisfaite, la série converge très rapidement, quelle que soit la valeur de z. Est-elle satisfaite par la valeur (3) qu^il nous faut ici assigner kg?
Si le discriminant est positif, il y a un couple de demi-périodes où (o et — sontréellesetpositives.Pourcecouple^Pexposant
r— est réel et négatif; q est réel, moindre que Tunité.
Si le discriminant est négatif, on peut prendre
et l'on a, en ce cas.
On voit que ? est réel, moindre que l'unité. Par ces choix, la
série convergera, et déplus, ne contenant que les puissances paires de (7, elle sera réelle quand u sera réel aussi.
Il y a une infinité d'autres manières de choisir co et co' pour rendre la valeur absolue de q inférieure à l'unité; nous y reviendrons. Pour le moment, fixons les idées en faisant le choix dont nous venons de parler dans le cas où le discriminant est positif. Mais, dans le cas opposé, prenons
= («),= l-(Wj--Wi), W'= tO, = |( (1), -+- O)', ),
'^ f- I7t— ^ ^ llTt
Comme (i>2 et -îî- sont réels et positifs, on voit que la valeur
absolue de q est égale au dernier facteur, dont l'exposant est réel et négatif; elle est donc moindre que l'unité.
De cette manière, il sera entendu, dans les deux cas du discriminant, que les indices des e correspondent à to, o)', o)'' comme nous l'avons toujours supposé jusqu'ici
En choisissant q comme nous venons de le dire, nous avons trouvé une série convergente /(w), qui possède, en commun avec la fonction (i), les propriétés (2). Ces deux fonctions coïncident-
elles en efiet, sauf le choix du coeflicient C, iadépendant de it? Voilà ce qu'il faut savoir.
Pour montrer la coïncidence des deux fonctions, nous prendrons la série elle-même, et, par elle seule, nous remonterons à la définition de pu.
Démonstration directe de l'équation à trois termes.
Pour la commodité du calcul, modifions un peu les notations dans ^(5). Ecrivons
LU q=x^, e»<^=7, ^=y'*,
et prenons la fonction — ç(s), que nous pouvons écrire ainsi
(9) F(ii)=2]^-i) * ^''^'"'S
le signe sommatoire s'étendantà tous les nombres impairs positif s ou négatifs, mis à la place de m. Effectivement xq"^""^*^ devient une puissance de x^ dont l'exposant est
4n(n4-i)-t-i = (!in-+-i)5= m».
La série F(i/) est absolument convergente, sous la seule hypothèse que la valeur absolue de x soit inférieure à l'unité. Nous faisons celte hypothèse, celle-là seulement, nécessaire à l'existence de F(m). Avec cette unique définition de F(f/), nous allons vérifier l'exactitude de la relation fondamentale, reconnue déjà pour ^•//(VI, 43).
(10) I -^F{b — c)F(b-hc)F(a — d)F(a-^d)
( 4-F(c — a)F(c-t-a)F(^ — rf)F(6-r-c^) = o.
Considérant les trois produits
A = F{b — c)F{b-\-c)F(a — d)F{a-hd), B=zF(c^a)F{c-^a)F{b—d)F(b-^d)y C = F{a — b)F{a-hb)F{C'-d)F{c-\-d),
nous allons, dans chacun d'eux, effectuer la multiplication des séries qui représentent les fonctions F, et reconnaître que tous les termes se détruisent dans la somme S = A -i- B -i- C.
