CHAPITRE YIII. — LES SÉRIES

En désignant par m, m', m", m'" quatre nombres impairs positifs ou négatifs, nous avons, pour un terme quelconque de A, cette expression

Nous distinguerons les termes où [x est pair et ceux où [x est impair, en écrivant

( A) = ( Ao) si [X est pair; (A) = — (Ai) si [jl est impair. De cette façon, on aura

A = S(Ao)- 2(Ai)- Faisons de même pour B :

/(B)=(-i)V:rV, (12) I v = ^(n-hn'-f-/l•-^/l'"), N = /i«-f- /i'*-h n'«-h /i'"», ( p = (n'-h n'")b -I- (/i-h n')c H-(/i' — n)a -h (/i*^— /i')rf.

(B) = (Bo),si V est pair; (B) = — (Bi), si v est impair.

B = 2(Bo)-S(B,).

Faisons encore de même pour C :

(i3) I t: = \(p^p'^p''^p'")^ p^.pt^p'i^p't^p"'!^ ( ^ = (p''^p'")c-^(p-^p')a-^(p'-p)b-^(p'"-p')d,

C = S(Co)— 2(Ci).

Les lettres m, n, p désignent des nombres entiers impairs quelconques, positifs ou négatifs. Prenons un terme arbitraire (A), et voyons s'il existe un terme (B) pour lequel l'exposant j5 soit identiquement égal à a, quels que soient a, 6, c, d, A cet effet, on devra poser

( Al' — Al = m' -f- m*^, n-\-n'"=ni -h m', ( n -h n' =^ Fti' — ntf ai"' — ai' = Fn!" — aai".

a46 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Ces équations résolues donnent

n =\{ — m-hm'—m" — m"') = — |x-+-m', (— m -h m' -4- m' -h m'") = -+-|x — m, ( m-^ m' -\- m' — m!") = -+- p. — m'", ( m-i- m'— m'-^ m'") = -4- jjl — m'.

On voit d'abord que ces nombres /i, effectivement entiers, ne sont impairs que si |jl est pair. Ainsi le terme (Â) considéré doit appartenir au type (Aq ), sans quoi Tidentification serait impossible. Ayant donc pris un terme (Aq), nous trouvons les quatre nombres n impairs, et, par conséquent, un terme (B), pour lequel on a P = a. D'ailleurs, d'après (i4))

Le nombre v est donc impair, et ce terme (B) appartient au type — (Bi)« Enfin, élevant au carré les deux membres dans chacune des équations (i4) et faisant la somme, nous avons

/i* ■+- Ai'« -+- /i'* -+- n'"* = m* -+- m'« -+- m"^ -h m"'',

Donc le terme (B) considéré est égal, sauf le signe, au terme (A), et le détruit. Donc, dans la somme A -f- B, la partie S(Ao) est entièrement détruite par — S(B|).

Réciproquement, en résolvant les équations (i4) par rapport aux m, on voit que — S(B<) est entièrement détruit par S(Ao).

On déduit A, B, C les uns des autres par permutation circulaire de a, è, c; donc de même S(Bo) et — S(C|) se détruisent, et S(Co), — 2I(Ai) se détruisent. Donc la somme A + B + C se réduit à zéro; c'est ce qu'il fallait démontrer.

Identification de la série avec (fu.

La relation (10) reste inaltérée si l'on y remplace la fonction F par une autre qui en diffère seulement d'une exponentielle paire du second degré ; en d'autres termes, elle a lieu pour toute fonction ^(w) de la forme

Ce fait tient à ce que le premier membre de (10) est doublement