CHAPITRE TIII. — LES SÉRIES

homogène: i° par rapport aux fonctions F, circonstance qui fait disparaître le facteur e^; 2^ par rapport aux carrés des arguments, dont la somme est 2(a^+ 6^ + c^+ rf^) pour chaque terme^ circonstance qui fait disparaître le facteur e^"'.

Si donc, en désignant parxi une constante encore indéterminée, nous définissons du par la relation

e"* « a'M=/(M) = ;p(5) = 2tCgr"4F(M),

cette fonction (iu, dont nous n'avons pas encore prouvé l'identité avec celle qui nous est déjà connue, cette fonction du, outre les propriétés de périodicité, a encore celle de satisfaire à la relation (10).

Pour la rapprocher de la précédente fonction rfw, choisissons la constante y; de manière que le développement, suivant les puissances ascendantes de u^ manque du second terme. A cet effet, il faudra prendre

1 !» =^cytzl)l^nin-^l)\(jJL±j}ï]\

2<:^,.»«f-ii^]

ce qui détermine tj par une série convergente. Choisissons aussi la constante C de façon que la limite de — soit l'unité pour w = o ; par conséquent,

^ = — [i — 3^*-+-5^«-f-...-f-(— i)'»(2n4-i)çr«t«-»-»J-l-...].

Cela étant, la 'fonction du ainsi définie a toutes les propriétés signalées comme caractéristiques au Chap. VI; on peut avec elle remonter à j3 2/ . La légitimité du développement se trouve donc bien établie.

La série ^i. Expression de t^co et de o'ii.

La série qui vient de s'jofirir sera employée sous la forme intro-

± dulte en dernier lieu : on multiplie tous ses termes par 2q^, On la

désigne par la lettre Sr avec l'indice i ,

(i5)&i(t') = 2y*sinp'n — 2y*sin3pic -+-... -4-(—i)'*2y * 510(2/14-1)^^-4-...

OU bien, en mettant les exponentielles au lieu des sinus et fai^nt (i6) 5 = e''^«',

on peut récrire aussi

(17) %(^)=i2à^-irq * -«'«^s

et le signe sommatoire comprend tous les enlîers positifs et négatifs n.

En mettant

on a, pour z, la même signification que précédemment, et

1 T'' Or / \

Sous la forme précédente, ceci est la même chose que

1^77- . 2^ r • "ï^w • • 37tM , , , ,, . (in-{-\)TZU 1

« «»> (fu = --r- sin g^sm h. ..-+-(— O^û^^^^^-^^sin ^^ ^ 1

TtAoL aW ^ '20) ^ / V 20) J

Ao = i— 3^^-^... -+-(—!)«( 2/n-i)5r«{H+i)...= L 3r'j(o).

271 gr*

En outre, comme on l'a vu tout à Theure,

En faisant 2/ = (o, on a

A, = i-f- ^«-f- . . . -f- ^/'ït^+i' ... = -ij 3ri (1).

La série ^Ts. Expression de :fiu.

Il est d'usage de désigner par 2^2(^)1» fonction Si (.j — ç^); ainsi