CHAPITRE TIII. — LES SÉRIES
Changeant u en (w — w)dans (19), par conséquent ^en(^ — v), et divisant membre à membre l'égalité obtenue et l'égalité (21), on a
ou, sous une autre forme,
e * «^ 3'|t£ = — [cOSt'Tt -+- çrScOSSPTt -f-. . .-i- grn(«+l) C0S(2/H-l)l?i:-f-...].
La série ^o* Expression de (fiu.
11 y a lieu de mettre sous une forme analogue ^(co'-l- u). En posant
d'où résulte
on voit que le changement de 5 = e"^*' en q ^z revient au changement de {f en (v — ^t). On a donc
(î/i-Hi« în-M
On désigne par 2ro(^) la nouvelle série
(26) I %(V)= I,(^l)n qn^zi'*
\ =1 — 2qCOS2VTZ-h2q^COS4V'!t-^..,-\-(—l)'*'iq"*COS2nÇ'IZ-\-...,
La relation d'où nous venons de la conclure s'écrit donc
{27) %v = iq'^ e-^«»'2r, (p - ix)
ou bien, changeant i^ en — Çy comme &o est paire et Si impaire,
(27a) %v= — iq^e^^*'^i{v-+- }t).
25o PRBXIÈRE PARTIE. — THÉORIE.
En faisant w = w' dans (19), par conséquent ^ ==^t, nous avons maintenant
D'ailleurs on a
On peut donc écrire
(ag) e * 0^(0^ = 2(1)1°, ^
Sr, (o)
Changeant ensuite, dans (19), w en (co'4- w), par conséquent r en ^ -+-^T, puis divisant membre à membre avec (28), on a
a'(o' "" ï* 3ro(o) "^ 2ro{o)' puis, en remplaçant, dans e *^ , Texposantpar — - ( rjtj} + — ] »
ilZn
par conséquent l'exponentielle par e"V« e **** = e'^V^e"'^*',
(30) riVfi^^),-,.»=riVtf,„= Jî^L.
En faisant e/ == (o, par conséquent r =^, on a
,a,, -^TQw-Yi'wa'oj' 2ro(|).
multipliant membre à membre avec (29) et observant Tégalilé
— Jt<(o — 7)'(o — |7)(u = -:: l^^j «*> ,
nous en déduisons
(32) e ' c'a) = 2(ue ♦ st-tH*
CnAPlTRB VIII. — LES SÉRIES ^. 25 1
La série 2rs. Expression de o'iii.
En dernier Heu, Ton désigne par Ss(^) la fonction So(^' + i)î ainsi
!2r,((;) = i-h 2^ C0S2t''n -i- 2 5^*003 4 fie H-- • .-\- ^ç'^* C0S2nV'!t-h . . .,
Changeons, dans (3o), u en (w + w), partant ^ en (^^4-^)? ^l divisons membre à membre avec (3i); nous aurons
(31) e"«^^^^^^e-^'« = e^«Va',M=^^.
Résumé des relations entre les 2r et les a*.
On remarquera qu'il est aisé de se rappeler la manière donl sont distribués les indices dans les quatre fonctions Sr. Chacune de ces fonctions correspond à une fonction (3*, et les indices pour les Sr dépassent chaque fois d'une unité l'indice correspondant de d] les prenant d'ailleurs aux multiples de 4 près, on remplace l'indice 4 par l'indice zéro.
Les quatre formules étant rapprochées, nous avons
Il n'y a d'ailleurs d'essentiel à retenir que SFi et Sr,, les deux autres s'en déduisant par le changement de v en(v ■+■ ^).
252 PRBXIÈRB PARTIE. — THÉORIE.
Observations sur les séries 3r. Diverses notations usitées.
Les fonctions employées jusqu'ici pu, ÎJtt, (iu dépendaient de trois quantités, u et les invariants, mais étaient homogènes; les fonctions antérieures snw, cnw, dnii dépendaient de deux quantités, l'argument et le module. Les séries &, elles aussi, dépendent de deux quantités. En premier lieu, on y voit figurer un argument V, ou une variable z, suivant la forme trigonométrique ou en série de puissances qu'on emploie; en second lieu, une quantité q, à laquelle se trouve liée une autre quantité t : il est plus ou moins commode, suivant les cas, de mettre en évidence t ou q. Dans les séries, c'est q qui apparaît, mais dans la théorie de la transformation, ce sera toujours t, rapport de deux périodes.
On emploie la simple notation &«!> ou Sa(^)> avec ou sans parenthèses, quand on n'a pas besoin de mettre en évidence la seconde quantité q ou t. Dans le cas opposé, nous ferons usage de la notation ^ai^,q)o\i 2ra(p|T).
Voici un résumé de ces notations :
^olV = ^oiii^q) = ^ol{^ I t), a = i, 2, 3, o; 2riP = 2S,„(— i)'«-f-i^ï<*"'-*^'sin(2/n-i)xi^= i S«(— i)«^^^*""^*^';;««-^-i,
%V= 2l,,„q^ COS(2/?l--l)7rP= I.nq^ \3*«+S
^^ç 1= l-i- 2 2;„gr'»»«COS2m7rP = S^^"'^*»,
%v = \-\- 2 2w(— l)'"^'"*C0S2mitt> = 2rt(— i)«gr««^««;
/n = I, 2, 3, . . ., -*- 00 , n = o, — I, z^ 2, . . ., zt oo .
La première Si r est une fonction impaire, comme du] les autres sont paires, comme les autres (^««z. Les développements mettent en évidence la propriété suivante, qui appartient en commun à ces quatre fonctions et à toutes leurs dérivées (par rapport 'd v),
Cette propriété, que nous déduirons directement, au Chapitre IX, de la fonction a*, y fournira un nouveau moyen de trouver les séries 2r.
