CHAPITRE Vin. — LES SÉRIES

Les notalions adoptées ici sont conformes à celles qui sont employées par M. Weierstrass ( ' ). Jacobi, dans ses Leçons (2), a fait

usage de notalions peu différentes : &a(^j (j) au lieu de ce que nous désignerions ici par Sa (~^ 9)\ en outre, l'indice zéro est

supprimé, &o étant écrit simplement &. Dans la Théorie des fonctions elliptiques de MM. Briot et Bouquet, est employée la notation Oa(2), qui équivaut à ce que nous désignerions par Sa ( — j ;

en outre, comme dans les Leçons de Jacobi, l'indice zéro est supprimé. Dans les Fundamenta nova theoriœ functionum ellipticarum, Jacobi avait adopté d'abord d'autres notations, et 0(2Kx), H(2K;r) y représentent ce que nous dénoterions par &o^î ^2^' On y a joint ensuite les notations 0|(2Ka:), H|(2Kj:) . équivalentes à Sa a: et &i x. Ces désignations, mises en faveur par le succès des Fundamenta, se trouvent dans nombre de Mémoires et d'Ouvrages, notamment dans la plupart des travaux de M. Hcrmite.

Quand il y a lieu de prendre les dérivées des séries 2r, c'est le plus souvent par rapport à l'argument v^ et nous dénoterons ordinairement ces dérivées par des accents : Sr'ç;, Sr^^», etc.

Addition des demi-périodes et des périodes dans les ^.

D'après la liaison u = 2 co^ entre les arguments u de rf, et ^ de S, d'après aussi la définition de t, rapport de (*>' à w, on voit que, pour les 2r, les périodes sont i et t, au lieu de 2(0 et 2(0'. Les formules d'addition des demi-périodes et des périodes résultent immédiatement de l'analyse qui précède; elles sont contenues dans les égalités (2), (22), (27) et la définition de Sj^^. Nous avons besoin seulement de les résumer. On les retrouve d'ailleurs facilement comme conséquences des égalités (35), en employant la définition de rfftW :

{^) Formeln und Lehrsàtze zum Gebrauche der elliptischen Functionen, M. Weierstrass emploie seulement la lettre A, au lieu de q, que nous avons cru devoir conserver d'après Jacobi.

(») C.-G,-Jn Jacobi's gesammelte Werke (t. I, p. 497)-

et la propriété générale, où ô est une demi-période, Les voici, ordonnées en trois groupes :