V -1/7CT
Nous recommandons vivement au lecteur de ne faire aucun effort pour fixer ces formules dans sa mémoire.
Série ^ avec l'argument zéro.
Dans les égalités où ne figure pas Targument, mais seulement les invariants ou les quantités qui en tiennent lieu, interviennent les & ou leurs dérivées avec l'argument ç^ = o, et nous allons, dans un instant, envisager de telles égalités. Nous écrirons simplement alors Soj, en sous-entendant l'argument zéro. Pour cet argument, 2r, et ses dérivées d'ordre pair sont nulles, les dérivées d'ordre impair des aulres &« sont nulles. Ces quantités dépendent d'une seule variable y, et s'expriment toulcs, conformément à la relation (37), parles dérivées prises par rapport à log^r.
CnAPlTRB YUI. — LES SÉRIES S. 255
Voici leurs expressions, déduites des égalités (36) : v = Of m = I, 2, 3, .. .-hoo,
— 2Tzq^{i — 3^*-+- Sgr»— 7griî-i-...),
âTj =iH-2^^'"*= IH- 2Çr-|- 2gr*-h 279-4-.. .,
3ri = - 27t« 2(2m)»7"'' = - STJ(q -4- içrvn- 975-f-...),
STo = I -i-2 \^(— l)'w^m'= i__2gr 4- 2^^* — 2^'»-+-. ..,
^0 = — 2it*2(— i)'« ( '^wi)' <7'«' =-+- Siz^iq — 47*-+- 97' —...),
rn
fin
Les quatre fonctions Sr'^, âj, Ss, Sq, qui dépendent de la seule variable q, sont naturellement liées par trois relations qu'on doit supposer transcendantes. Mais, comme on va le voir dans un instant, deux de ces relations sont algébriques et fort simples. Écrivons-les immédiatement pour qu'on les trouve ici réunies avec les formules ( Sg). Les voici :
.Jj -t- .Jq — -Jj,
Ce sont deux identités extrêmement remarquables, qui vont être démontrées, et sur lesquelles nous aurons à revenir dans les applications à la théorie des nombres. Elles sont, toutes deux, dues à Jacobi.
Expression des trois quantités e '^ o'co par les ?s.
Première identité.
Réunissons les trois relations, trouvées précédemmcnl, (2i),('>.9) et (3a),
Rappelons-nous maintenant IVgalité (VI, 47), suivant laquelle la somme des puissances quatrièmes des trois premiers membres est nulle. Nous en déduirons
ce qui est la preuve de la première identité {\o).
Première expression de e^, e^, e^ par les 2r. Seconde identité (>). Nous avons successivement
P(m -h wa) = — ^ log ^{u 4- wa)
= — ^ log(3'u)aeTQ«« c'a"] = — ^, log ^'aW.
D'après les formules (35), en remplaçant l'indice 4 par zéro, on peut écrire d'un seul coup trois formules ainsi
p(w 4-(0a) =- ^, (4T.w-f- ^logâr^,^,,!.);
(*) Voir dans les Œuvres de Jacobi j t T, p. 5i5, une démonstralion de cetU' identité, extrêmement intéressante, et tout à fait dissemblable de celle qu'un trouvera ici.
