CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES ^. 2Sg

premiers membres, que nous les comparions aux formules (44) et à celles du Chapitre VI (VI, 44> 45, 46)> nous reconnaissons immédiatement qu'ici et au Chapitre VI les quantités \/et — 62 et les deux analogues sont déterminées de la même manière.

Nous avons adopté (Chap. I et III) pour le discriminant A, quant au facteur numérique (*), l'expression

A = i6(c, — e,)*(«j— «3)' (ei — e,)*. D'après lesrelations(46),nousen déduisons cette expression de A

^^ = v^i/(îi)'^»^«^-

ce qui se transforme par l'identité (43) en la relation

(47) t/l = — iZ-a-,, (i. = o)

ou, sous une autre forme,

L'expression (20) de t,(o peut subir par là une transformation

48) Tito = ^} =^1:» ,. ^ ' = -T^ï'— i-r

^ ^ 12 zr\ 3 dïo^q a4 diOQq

C'est une relation que nous retrouverons, par une voie toule différente, au Chapitre IX.

Expression des 3r par les <f.

Les formules (35), jointes à celle (20) qui exprime t^w, doivent être envisagées comme fournissant les fonctions d par le moyen des fonctions â. Nous pouvons maintenant donner les formules inverses : il suffit, à cet effet, dans (35), de remplacer les constantes S'^ , Sr2î 2^8, 2^o> d'argument ^ = o, par les constantes équivalentes,

(*) M. Wcicrstrass emploie, pour désigner le discriminant, la lettre G et cette lettre représente, non pas A, mais -^ A.

a60 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

suivant (47) et (46). Nous avons, de la sorte,

•s. /aW 4> = —

Changement des périodes : équivalence.

Nous avons reconnu, au second paragraphe de ce Chapitre, la possibilité de choisir à volonté, pour composer la quantité q^ deux demi-périodes quelconques «0, to', pourvu que la valeur absolue de

q = e " soit inférieur à l'unité. En outre, dès le début de ce Chapitre, nous avons admis que ces demi-périodes satisfassent à la relation

71(0' — r\'oi = —

Il est clair que tout couple (co, to') satisfaisant à cette double condition laisse à notre analyse toute son exactitude et exigera seulement quelque interversion dans Tordre des indices pour Ci, €2, e^. Nous avons à examiner quels sont ces couples («0, w'). Soient

deux demi-périodes composant un tel couple. Nous avons, en

même temps,

7) = aTj -h br{,

et par conséquent

rfii' — fj'û) = {ab' ^ ùa'){r^(ji'^ t/o)) = {ab' — ba') — •

La seconde condition est donc satisfaite si les e/i^/er5 a, a\ 6, 6' vérifient la relation

(5o) ab'^ba' = i.