CHAPITRE TIU. — LES SÉRIES

De plus, cette dernière relation exige que a et 6', ou b et a' soient à la fois impairs, et ô, ô' seront effectivement des demi-périodes.

A l'égard de la première condition, supposons to et to' des quantités imaginaires quelconques, et soient

11 en résulte

(^^) • 7^ = îmiî — ^' = «-*-'?»

La valeur absolue (module) de q est e~'^", moindre que l'unité si a est une quantité positive. Ainsi la première condition se traduit en ces termes : la partie réelle de -r- doit être positive. Supposons qu'il en soit ainsi, ce qui avait lieu effectivement pour les choix faits précédemment.

Prenons maintenant (5 et O!, En supposant encore

û = û H- i û,, û' = û'-i- iù\ , nous aurons

Û = au -+- 6û', Û' = a'Û -h b'Q!,

Û,= aÛ|-^-6ûj, Ûj = a'Û,-+-6'Û',, Ûi Û' — Qà\ = (aô' — 6a' ) ( ûi Û' — ÛÛ'j ),

et, d'après la condition (5o),

ûû'j — ûi û' = ûû'i — û, û'.

D'après (5i), ces deux derniers déterminants ne diffèrent l'un et l'aulre des parties réelles de -r- et de -r=: que par des facteurs

positifs Û^-hÛf et Û^+ÛJ. Le premier étant positif, le second l'est aussi. Donc la condition ( 5o) est la seule à laquelle on soit assujetti pour le choix de ô et O!. Sous le bénéfice de cette condition (5o), le couple û, Q! est dit équivalent aji couple co, co'.

Échange des indices de e^ e^y e%.

Prenant maintenant cî> et Ql de cette manière, comment devonsnous modifier les indices de ei, ^2, es? A cette question la réponse est immédiate; nous devons mettre partout

pw, pw', p((5 -t-w'), au lieu de

a6a PREMIÈRB PàRTIB. — THÉORIE.

En posant

nous aurons en tout six cas distincts, résumés dans le Tableau suivant. Le nombre i indique que le coefficient a ou d^ etc., au-dessous duquel il est placé, est impair; le nombre o indique, au contraire, que ce coefficient est pair. Les colonnes /, m, n donnent une indication qui sera bientôt expliquée.

II I o I I I 3 2 r 3 a

(52) {III I 1 o I 2 1 3 2 I 3

IV I I I o 2 3 I 3 I a

\ VI o I 1 I 3 I 2 2 3 I

Ces six cas correspondent aux six permutations des trois indices I, 2, 3.

Les six permutations peuvent être obtenues par la combinaison de deux opérations simples; de même aussi les substitutions, en

nombre infini ( / rr ) ( * )? dérivent toutes de deux d'entre elles, par

exemple des deux suivantes ( ) ^M__ )' appartenant aux

cas II et V. C'est, au reste, un sujet sur lequel nous reviendrons avec soin dans la théorie de la transformation.

Changement des périodes dans les fonctions 3^.

Ce changement des périodes to, to' en d'autres équivalentes ô, û/ entraîne une propriété très importante pour les fonctions 2r.

Mettons en évidence les périodes en écrivant, au lieu de 3(i'), 3(^|t). Ayant à la ^is posé

et observant que A n'est pas changé par l'échange des indices, mais

(*) Cette notation abrégée rappelle l'opération qui consiste à remplacer deax quantités ci>, w' respectivement par aw -4- ôw' et a'w-4-6'w'.