CHAPITRE YIII. — LES SÉRIES

que la racine huitième peut l'être, nous aurons d'après (49)? en désignant par e une racine huitième de l'unité,

On aura, de même, une double expression pour les autres (^ :

yiz yto y(â

yic y^ y^

Les indices /+i,/nH-i,/iH-i, donnés par le Tableau (Sa), doivent être pris aux multiples près de 4 et réduits à o, 2, 3. Les lettres £1,82, £3 désignent, comme s, des racines huitièmes deTunité, dont la détermination précise exigerait une étude qui serait inutile ici. On les fixe très aisément dans chaque cas particulier. Il suffit d'ailleurs, au point de vue de la théorie, de les fixer pour les deux substitutions particulières dont nous avons parlé tout à Theure, et dont toutes les autres dérivent. C'est ce que nous allons faire.

La première substitution consiste à remplacer to et «0' par to et «0 4- ti)'. On a donc

Qu'on se remette sous les yeux les développements 3, savoir

(în-l)«

2ri(t>|T) = a2( — i)**-»-*^ * sin(2/i — i)'^^»

(ln-l)«

g __ glTCT^

3rj(p|x) = aSgr * cos(2/i — Ot'Tr,

%(ç\i:) = i-t- 22(— i)'*^'»'cosa/iP7t,

et Ton reconnaît immédiatement l'exactitude des résultats suivants, relatifs à ce cas :

^3(Hx)= &o(i^|T-f-i),

&o(p|t)= 3^,((^Ith-;).

La seconde substitution consiste à remplacer to par to' et eu' par — «o; c'est celle dont nous avons déjà parlé maintes fois, et qui provient du changement de gz en — gz> On a, en ce cas,

Ti = — -, (^i = -, q=e^^^, q\ = e ^, t = — , Xj = j,

En déterminant, comme nous allons Texpliquer, les multiplicateurs e, on obtient les formules suivantes :

Pour vérifier l'exactitude du coefficient, envisageons la formule qui relie les deux fonctions Sa, et observons d'abord que ces deux fonctions deviennent identiques pour r = o, si l'on suppose la valeur particulière t=i. Remarquons que la supposition indispensable sur le signe de la partie réelle de -r~ entraîne pour t la

condition que sa partie imaginaire soit positive; on peut donc bien supposer le cas t = t, et l'on ne pourrait pas supposer t = — ^

On voit donc bien que le coefficient est i/- , dont il faut seulement préciser le signe.

Puisque la partie imaginaire de t est positive, la partie réelle de

- l'est aussi. Comme cette partie réelle ne peut jamais passer

par zéro, sans que la convergence des séries cesse, car alors la valeur absolue de q passerait par l'unité, il en sera tout

autant pour 4/ - dont, par conséquent, la partie réelle conserve