CHAPITRE YIII. — LES SÉRIES

toujours un même signe. Or, pour t= i", les deux membres (si ç = o) sont identiques et 4/ - doit être pris égal à -|-i. Donc

dans la troisième formule on doit prendre pour Kj -la détermination dans laquelle la partie réelle est positive. Il en est de même dans les autres formules, qui se déduisent de celle-là par le moyen des formules (38 A, B, G).

Au point de vue théorique, ces dernières relations ont une importance très grande pour la transformation. Ici, au point de vue du développement des fonctions elliptiques en séries, l'importance n^est pas moindre, à cause de la facilité qu^elles nous fournissent pour choisir les séries réelles les plus convergentes. C'est ce qu'on va comprendre immédiatement par le résumé que nous allons faire.

Résumé des formules pour le calcul des fonctions a'.

I. Discriminant positif. ' — Nous désignerons par tOi la demipériode réelle, par (1)3 la demi-période purement imaginaire. Voici la première représentation réelle des constantes elliptiques par les deux quantités réelles et positii^es to, et q, puis celle des fonctions par ces quantités et un argument. La quantité q est moindre que l'unité.

T = -lognat l -] 9

'ii^l - 75 I — Sûrl-nSûT*— TÛT»»... '

iiz

TjiWs— («)iT^8 =

v/ci — ez = 1 -\-iq -\-iq^-{-iq^->r. . ,y

4/ — î Vei — Cl = 1 — 2^4-2^*— 2^»-+-...,

Toutes ces racines sont réelles et positives.

a66 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

II est bon de se remettre ici sous les yeux les expressions explicites des fonctions 2r :

^i{v, q) = 1 ^(sinviz — q^ sinSpir -+- q^ sinSpic — q^* sin7t'T:. . .), ^i(^y Ç) = ^^Ç (cospTC -+■ q^ cosSpti h- q^ cosSpt: -î- ç'** cosji'TC. , .). 3r3(i;, ^) = i-l-2^ cosapir -h 25^^ cos4t'T: -+-2^* cos6pTr-T-a^*^cos8P7: . ., ^Q{Vy q) = ^ — '^q co^iVTz-^iq^ cos4pt: — nq^ cosôi'Tc -+- a^i^cosSPTi. . ..

L'emploi de ces formules est à recommander dans le cas où gz est positif. On a vu (Chapitre II) qu'alors -4- est supérieure to,. En ce

cas, - est supérieur à l'unité, et q moindre que e~'^= o , o432 1 ....

La convergence des développements est alors extrêmement rapide. Voici maintenant le second mode, à recommander pour le cas où gz est négatif. Les développements ont lieu suivant les puissances à exposants croissants de q^

qx=e , qui, en ce cas, est, à son tour, réel, positif, moindre que e~'^.

^'^-^y'^^^^i = '^'yJqi{^-^q\'^q\-^q\^-^^'').

i/ -r-^\/ex — ei = i-h iqi-h2q\ -f- 2ql -t-..., y lit

/2(03 *^^^__ ^^ j __ 2qi-^iq\ — 2^? -+-...,

^(^)'v'A =fy,(i-3g-î+5y{-7<7l»-(-...)-