CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES

Ici encore, toutes les racines sont réelles et positives. En posant

ensuite

on aura les formules

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On remarquera que, u étant réel, ^j est purement imaginaire; les seconds membres perdent alors l'aspect trigonométrique; les sinus et cosinus se remplacent par des exponentielles réelles. Ils reprennent, au contraire, la forme trigonométrique quand u est purement imaginaire. Pour les formules (A), les faits se passent dans l'ordre inverse. Dans les applications où, sans avoir égard à la rapidité de la convergence, on veut mettre en évidence une période, on prendra l'un ou l'autre mode de développement suivant que u sera réel ou purement imaginaire.

II. Discriminant négatif. — Nous désignons, comme auparavant, par ci)2 la demi-période réelle, par co, la demi-période purement imaginaire. On se rappellera que nous avons posé

0)1= i(ci),— o)',), ci),= |(u),-ha)',).

Il ne convient pas, dans les applications, de prendre pour t le rapport (1)3 ; coi ; car q ne serait ni réel, ni purement imaginaire.

Nous prendrons deux modes de représentation; dans le premier, on aura

0) = (1)) = O)} + b>3y 0)'= |^((«)j-t- (Oj) = Wj.

Il appartient, comme on voit, au cas III du Tableau (62)

On aura alors

En faisant