CHAPITRE YIII. — LES SÉRIES d

Pour ces fonctions 2r, la quantité analogue à xestTt = |(i 4- t'). Dans le second mode de représentation, on prendra

(U = (o', = (1)3 — 0)1, (I)' = — tï)i = J ( W j — Cï)j),

il appartient, comme on voit, au cas IV du Tableau; l'ordre est

M = 2w', p', q'\=e^ Vq%

Au sujet de la réalité de u^ v, v', les observations sont ici les mêmes que pour le cas du discriminant positif. Les radicaux sont

choisis comme il suit: i® y — A et v(e3 — ^i)'j qui sont réels, sont pris positivement; 2^ posant 62 — e3=pe"l', ^2 — ei = pe~'+, on choisit ^ entre zéro et tc, conformément à la convention que Ct ait sa partie imaginaire positive, et Ton prend

y/et— ez = yfpe^j v^e,— ei = y^pc"" * ,

370 PREXIÈRB PARTIE. — THÉORIE.

dans les formules (C); tandis que l'on doit prendre

y/ei—et — ^pe' * , Vei — e, = {^p c~' ♦ , dans les formules (D).

Calcul de q. Cas A > o.

Dans les applications où Ton doit faire des calculs numériques, il arrive d'ordinaire que les données sont ^i, ej, ez ou des quantités équivalentes, et, en outre, la valeur numérique de p pour quelques arguments; puis ces arguments interviennent ensuite d'une manière quelconque dans les formules. On a donc besoin de calculer : i^ ^ et une période ; a** les arguments u donnés par la valeur numérique de pu.

Les formules qui précèdent fournissent, à cet effet, des moyens dont l'usage est très commode. Nous allons raisonner sur le cas (A) où le discriminant est positif, ainsi que gz ; par conséquent e2<i o. Les conclusions s'étendront facilement aux trois autres cas.

Pour le calcul de q^ prenons les deux formules

2Wi 4,

i/ /ei — ei = i —2q -h iq^— iq

et concluons

v/^, — ^1, — \/e^ — Ci ^ q-^q^-^q^^

(60) - / = ^ ^'jTl^.zi^^' z^j = J^t.^j±Sr:

On peut de là tirer par voie de récurrence le développement de

q suivant les puissances ascendantes de ( - ) • Il ne contient que les

exposants multiples de 4j pl"s i, et les coefficients sont des nombres entiers. On peut démontrer que ce développement converge quand / est inférieur à l'unité en valeur absolue ; mais nous ne considérerons pas la convergence de cette série, que nous envisagerons seulement comme une formule d'approximation. En effet, nous savons déjà que q est inférieur à e~^=: o,o432i . . . , et la for-