CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES

mule (61) elle-même permet d'assigner à f-j une limite voisine.

Mais, indépendamment de cette formule, nous voyons que

Ton a

Cl — «j

Cl — Cj

car, à cause de ^1+^2 + ^3 = 0, cette inégalité se réduit à la supposition ^2 < o; par conséquent, on a aussi

/ < jzz = 0,0864 —

V^2 -ht

Il en résulte que, dans les cas les plus défavorables, c'est-à-dire ceux où / est voisin de celte limite, on aura déjà q avec une erreur

moindre que — ^ en prenant, comme approximation de q^ la racine X de l'équation

dont le développement, d'après la série de Lagraùge, est

X = — ha

Le développement de q lui-même diffère de celui de x k partir du troisième terme inclusivement. On voit effectivement par la formule (61) que le coefficient de ce terme sera diminué d'une unité. Les quatre premiers termes sont

(62) y = ^+a(0V.5(Q'-i5o(^yV ...

Ayant calculé q, on calcule (Oj par la formule

(63) 1/^ - ijr-^g^-^-iq^^ \ ...

Pour le cas (B), où g^ est négatif, on n'a qu'à changer ici

1, 62, ^3 en — ^3, — €21 — ^1, et «Oi en -^ •

Calcul de u, connaissant pu. Cas A>o.

Il s'agit maintenant de calculer u connaissant pu. Nous supposerons, comme cela se présente dans les applications, pu réel. Il y aura lieu de distinguer quatre cas suivant la place de pu dans les intervalles marqués par les nombres — oo , ^3, e2, ^i, -+- oo .

I** pu>e^. — Nous avons, d'après les formules (69 A)

(1 v^^i — gs ^« ^ — y/gj — ei(^iU (bi) < ^ V^i— ga3'3M-4-v^ei— e, a*,!*

(__ g cosat^Tt ■+- q^ cos6(^7c -^. , . ^

Le premier membre s'exprime immédiatement par les données, et si l'on pose

(65) 5=- ^^^ — ei\/pu — ei — }/et — ei^/pu — e^

'-* y/ci — e^^pu — ej -r- ^Ci — ej ^p u — Cj

on a l'équation 5 = Q.

Il existe des valeurs réelles de ^^, donc aussi des valeurs réelles de ç. Les cosinus qui figurent dans Q sont donc moindres que l'unité, en valeur absolue. A cause de la petitesse de q, on a déjà cosai^ic, avec une erreur relative moindre que nfô^ôôô» en prenant

Il sera aisé d'obtenir ensuite autant d'approximation qu'on pourra le désirer. Ayant calculé p, on aura les valeurs de u

m et n étant des entiers arbitraires.

2° ^3 < pw <C ^2- — Nous traitons maintenant ce cas, comme étant plus semblable au précédent. On y emploiera encore la formule (64), mais en remplaçant u par u — tOg. Nous avons

r^fu ,. ^-^ ^ (gj— g»)(gî— es)

p(U — (03) = ^sH >

pu —63

par conséquent,

pu — €3