CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES 3r

En faisant donc

on aura, pour déterminer v^ l'équation 5'=Q, d'où v se tirera comme précédemment. En effet, pw étant entre e^ et ^3, il existe, pour i^u — (1)3), des valeurs réelles. On aura ensuite

M=lhsia)iP-h2/7l(«)|-i-(2/l-f- l)(«)3.

3** pw<^s. — On se servira encore de l'égalité (64), mais on aura

soin de changer, dans 5, y/jjw— ^2, sjpn — ^3 en y/e2 — jjï/,

y/e3 — jjz/. Ici l'équation 5 = Q doit donner pour v des valeurs purement imaginaires. Les cosinus se changent en des cosinus hyperboliques. Si l'on fait v = ^V', on aura à remplacer partout, dans Q,

cosanPTt par •

Parmi les déterminations dc-> il en est une qui est réelle et, en

valeur absolue, moindre que—?- Le maximum de cos 2/1^71 est ainsi -f — -+- qr" j. La première approximation de cos2^7r, c'est-

à-dire -> dans les cas les plus défavorables, où pu se trouve peu

inférieur à e3, donne ainsi une erreur relative sensiblement égale à 2gr* cos4^''îî ou y^, moindre que j^. Mais, en ce cas, on peut employer s' au lieu de 5, de manière que : — - soit compris entre

zéro et— > et cos4^'ît moindre que-( — ^y)' La première approximation donne alors une erreur relative moindre que 77^. Ainsi, dans ce cas pu<C.ez, il conviendra d'employer l'une ou

l'autre des équations 5 = Q ou 5'=Q, suivant que -> compté

dans l'intervalle (o, -^j > sera dans la première ou la seconde

moitié de cet intervalle. Si l'on procède ainsi, la première approximation donne toujours une erreur relative inférieure à 77^. 4** ^2 <C J> ^^ <I ^< • — O^ emploiera encore la formule (64), mais en L 18

y remplaçant u par {u — «0|) ou par (w — ti)2). Pour la première subslilutioDy on a

pu — g| «1 — }^t^

. * . (gi — gîVj)M — gO

*^ ex — j)u

gj— p(w •— U)i)=

On voit par là que s se reproduit changé de signe, et Téquation à résoudre par rapport à t^ est 5 = — Q. Pour la seconde substitution, on a

gj— p(a-^a)2)

V u — gî

et l'on voit que s se change en — s, LMquation est donc 5' = — Q. Parmi les valeurs àe (z^ — C0|), il en est qui sont purementima-

ginaires. Considérant celles-là, on peut renfermer — . — ^ dans Tin-

tcrvalle ( o, -4 )• Si — -. — ^- est dans la première moitié de cet intervalle, alors V est purement imaginaire ; comme tout à riieure, on voit que cos 4^1^ est inférieur à -(^jr H — j , si Ton prend Téqua-

tion 5 = — Q. Dans le cas, au contraire, où - — ■. — ^- est dans le se^

cond intervalle, il sera mieux de prendre Téquation 5= — Q'; v

sera encore purement imaginaire, et cos 4 vr^ inférieur 'A-\q-\ — ) •

Dans l'un et l'autre cas, Terreur relative, dans la première approximation, est inférieure à-j-^^.

Dans le cas (B), où le discriminant est encore positif, mais g\^ négatif, tout ce que nous venons de dire pour le cas {\) subsiste, sauf changement, dans toutes les formules, de e^, e^, es, pu, y, en — ^3, — e2, — e^, — pu et q^^ avec l'échange des périodes 2(0| et 20)3.

Calcul de q . Cas A < o .

Pour le discriminant négatif, on procédera d'une manière analogue au moyen des formules (C) ou (D). On doit seulement re-