CHAPITRE VllI. — LES SÉRIES
marquer que les circonstances peuvent s'y trouver moins favorables au calcul. Les quantités qr', q^ ont, comme y et^i, e~^pour maximum; mais ce sont leurs racines carrées qui remplacent q et ^r,. La base des calculs d^approximation est donc ici
et non plus
L'autre part, la quantité /', qui remplace /, a pour expression, dans l(» cas des formules (C),
(07) /= . -;,--- =tangj.
L'angle d», compris entre zéro et?:, est l'argument de la quantité complexe (e^ — ^3). Comme la somme (^^ -h ^2-+- ^3) est nulle, la partie réelle commune à e^ et à ^3, est — \e^ en sorte que p cosA, partie réelle de (e^ — ^3), estfe-i. Elle est donc positive ou négative suivant que e^ est positif ou négatif, et i^ est compris entre
zéro et ^" dans le premier cas, entre 7 et ?:, dans le second. C'est
dans le premier cas qu'on emploie de préférence les formules (C),
et /' a pour maximum tang-j c'est-à-dire y 2 — i ==o,4ï421
Dans le cas des formules (D), on emploie la quantité /",
(r>7 a) / = .- - -r. = tan- - — T ,
* y/t'i -Cl— vea— <^2 4
déduite de /' parle changement de ei, ^2,^3, en — ^3, — ^2/ — ^'lî rlle a aussi, quand e^ est supposé négatif, pour maximum
On voit que, dans l'application des formules (C), (D), les quantités à employer peuvent être moins petites que pour le cas du discriminant positif; mais elles sont encore assez petites pour assurer le succès du calcul par l'emploi de la formule (6a), dans laquelle / est remplacé par /' ou /", et q par \/q' ou \/q".
On peut d'ailleurs, en appliquant les formules (A) et (B) au cas du discriminant négatif, retrouver pour le calcul les mêmes avan-
tages. Mais on opère alors sur des quantités complexes. C'est ce que nous allons expliquer.
Raisonnons sur le cas où e^ est positif. Les trois quantités ei, ^2, 63 étant représentées sur le plan par trois points de même nom {/ig, 5), l'angle à est le demi-angle en 62, dans le triangle isoscèle
formé par ces trois points. Il est inférieur ou supérieur à -r sui-
Fig. 5.
vaut que le côté ei e^ est inférieur ou supérieur aux côtés égaux
€261, €263, Le carré de la longueur €26 1 ou 6363, c'est le produit des deux quantités conjuguées (62 — ^i)(^2 — ^3)- Le carré de la longueur e^ ^3, c'est — (ei — ^3)^. On a donc
4^5^ en môme temps que (cj — «i)(^j — ^»)^-(^i — ^3)*<o.
D'ailleurs
donc ^ est inférieur ou supérieur à v suivant que g2 est positif ou
négatif.
Dans le cas où nous raisonnons actuellement, e^ > o, c'est-à-dire ^3 ^ o, si g2 croît à partir de zéro, nous savons déjà (Chapitre III)
que -r— * croît à partir de y/3 ; par suite, nous avons en même temps
^'je-n/â,
TT
l'^- tanff-^ = 21/2 ^- /3 — 1 — i/3 = o,i3i . . . .
Les maxima de \Jq' et de /' sont encore supérieurs à ceux qu'on avait pour q et l dans les cas du discriminant positif; mais ils sont sensiblement inférieurs à ceux que nous considérions tout à Theure.
