CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES

Si maintenant g^ est négatif, on va voir qu'en prenant les formules (A), on aura pour q et pour /, en valeur absolue, des quantités

* ettang-îi.

Soit t'= ioL le rapport w'^ : (1)2, nous avons

moindres aussi que e * et tang —

«1)3 . I — la .a» — i a -'i^irî — : — «iï

«TU — = ITT — = — tir— 2ir— , <7 = e a*-»-*e a* + i

0)1 I — 1% a*-Hi a*-f-i ^

La valeur absolue (module) de q est e «'+-*. La quantité -j — décroît constamment quand a croît à partir de l'unité. Or nous savons que, dans ce cas g^ }> o, si g^ est négatif, le rapport -lA- = a est compris entre 1 et y/3 (Chapitre III) ^ à ces deux

limites extrêmes correspondent pour -^ les deux limites i et

^-^3. Donc la valeur absolue de q est comprise entre e""^ et

Pour calculer alors q par la formule (60), il faudra seulement

savoir de quelle manière prendre v<?« — ^3 et \e\ — e^» Or la formule nous l'apprend elle-même, car on en tire

yjei — et

= I -hiq -+■

A cause de la petitesse de q, la partie réelle du premier membre, peu différent de 1+45^? est positive, et la partie imaginaire est né-

gative. Effectivement, -, étant compris entre zéro et ^, l'argument de Q, savoir — tz -z — > est lui-même entre zéro et • On

voit par là qu'après avoir choisi — -7-^9 comme précédemment, pour l'argument de ^e^ — €2, il faudra prendre - pour celui de

Pour le cas où, au contraire, €2 est négatif, on voit parle changement de ei, ej, e^ en — 63, — ea, — ei, que les formules (D)

1 jdonneront q" limité à e ' quand g2 sera positif. Si maintenant ^a est négatif, on pourra employer les formules (B) dans

lesquelles alors q\ sera imaginaire et, en valeur absolue, compris entre e~^ et e *

Calcul de u, connaissant pu. Cas de A < o.

Le calcul est analogue à celui qui a été indiqué pour le discriminant positif. Raisonnons dans Thypothèse ^3>o, cas où Ton doit employer les formules (C). Nous ferons usage de la formule suivante, tirée de (oy C)

î ^ej — 63 0*1 W — V^6î — ^lO'sM

1 '2. i yje% — ^3 a*! w -+- Ve^ — e\^^u

\ ~~ I -i- iq'^ cos.ît'Tr H- 2q'^ cos8P7r -t-. . . ^ ^ '

Soit maintenant

'-* * V ^î — e3\/pu — Ci-T- sle^ — ex ^p u — gj

c'est une quantité réelle, quand on a eu soin d'y prendre, comme

on le doit, pour\/^2 — ^3 et/^a — e^, pour y/ j3 m — et el\/pu — e^, des déterminations conjuguées.

Si pu est supérieur à ^2, il y a pour u et, par conséquent, pour ^', des déterminations réelles. L'équation s = Q' servira à déter-

miner la quantité v, et la première approximation cos 2(^71= — =

comporte une erreur relative inférieure à 2q'^ dont le maximum, correspondant à y'= 6"^^= o,o43. . . , est moindre que 0,004. Ayant une valeur de ç^, on aura

w==ir2totP-T-2mo>i-i- 2/10)3.

Si p u est inférieur à ^2, il y a pour u et pour r des déterminations purement imaginaires. Il est nécessaire de distinguer deux cas, comme il a été utile de le faire pour le discriminant positif.

La quantité Q', où nous mettrons en évidence Targument (^, a pour expression

^ ^ ^ 2* iJsl'-»- ^0^