CHAPITRE IL

Arguments purement imaginaires. — La période •jta'. — Arguments complexes. — Dérivée. — Relation entre j) m et y'ii. — Addition des arguments. — Homogénéité. — Double périodicité. — Addition des demi-périodes. — Infinis de hi fonction pu. — Diverses valeurs de u pour une même valeur de pu. — La fonction pu passe par toutes les valeurs réelles ou imaginaires. — Sur les signes dv

p' u ou de — .- quand pu est réel. — Dégénérescence de pu. — Les fonctions

snr/, cm/, dnuj d'arguments imaginaires. — Addition des demi-périodes. — Zéros et infinis de sni/, cm/, dm/. — Diverses valeurs de l'argument pour une même valeur de la fonction sn</, ou cnt/, ou ânu. — Les six modules conjugués. — (Quarts de périodes. — Définition directe de pu. — Nouvelle démonstration du théorème d'addition. — Sur la liaison entre les invariants et le module. — Variation des périodes avec les invariants; rapport des périodes. — Cas où g^ est nul. — Expressions asymptotiques des périodes quand le discriminant devient nul.

Arguments purement imaginaires.

Jusqu'à présent, l'argument u a été considéré unîquemcnl comme une variable réelle, et les fonctions elliptiques n'onl d'existence que pour cette supposition. La formule d'homogénéité de pu suggère tout nattirellement l'idée de généraliser et en ofl'rc le moyen.

Ecrivons (*) cette formule (I, 22) en y mettant u\^i»- au lieu de u et intervertissant les deux membres ; ce sera

Chacun des deux membres a une signification qui nous estcon-

(*) Quand nous renverrons à une équation d'un autre Chapitre, nous indiquerons, comme ici, le Chapitre et le numéro de l'équation. Ainsi le renvoi actuel (I, -ji) signifie : Chapitre I, équation (a-j).

nue déjà, tant que, g2 et ^3 étant réels et satisfaisant à la condition

jjL est une quantité positive. Eflectivement, au premier membre,

My/[JL est réel, et, au second membre, gn^^i gzY-^ sont réels et satisfont à la condition

(3) (^î[x«)'— 27(^,tx«)î>o.

Mais, u restant réel, cette dernière condition est encore satisfaite, si [JL est une quantité négative, en sorte que le second membre de (i) conserve une signification connue, pourv^u que la condition (2) ait toujours lieu. Quant au premier membre, la fonction p s'y présente avec un argument purement imaginaire. C'est une fonction nouvelle, non définie encore. Nous prenons donc pour définition de la fonction elliptique p avec un argu^

ment purement imaginaire (en faisant \k= — i, t= y/-— ~i )•

Il est donc bien entendu que p{iu; g^i gi) est, par définition, une fonction réelle de l'argument réel m; c'est un autre nom qu'on donne à — p(w; g2j — gz)' Par suite de cette convention, on devra écrire

(5) ip'iiu; gi, ffi) = — p'{u; ffi, — ffs);

d'où résulte

= — p'î(tt;^„— ^3)-t-4p*(w;^î, — ^3) — ^ïP(w;^î,— ^3)— (— ^3) = o.

Ainsi la fonction p, avec l'argument purement imaginaire i£/, satisfait, comme avec l'argument réel, à la formule

Elle satisfait aussi à la formule d'addition (I, 23). La démonstration se fait de même. Sans qu'il soit besoin de rien écrire, on voit que le changement de u en iu, de i^ en tV entraîne : 1** le changement de signe de p; 2** le changement de signe de ^3; 3" la multiplication de p' par i. Or ces changements ont pour résultat de changer les signes de tous les termes au numérateur du second membre, sans altérer le dénominateur, et de changer

: ff' ■•