DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS ET AUX PÉRIODES

Dérivées de pu par rapport aux invariants. — Calcul direct des dérivées de pu par rapport aux invariants. — Dérivées de ^u par rapport aux invariants. — Dérivées de o't^ par rapport aux invariants. Équation aux dérivées partielles.

Développement de (Tu. — Remarques sur l'opération D = '^g'j-T ^ 1 Sl T~'

— Dérivées de a*,!/, r,!/, a*, li par rapport aux invariants. Equation aux dérivées partielles. Développement suivant les puissances ascendantes de u (seconde méthode). — Dérivées des périodes par rapport aux invariants. — Dérivées de T, par rapport aux invariants. — Observations sur les équations aux dérivées partielles qui sont vérifiées par les fonctions «r. — Équations hypergéométriques avec l'invariant absolu pris pour variable indépendante. — Applications :

limite de - quand le discriminant tend vers zéro; variation de - quand le

discriminant est positif. Exercice. — Dérivées par rapport aux périodes. — Dérivées par rapport à log^. — Équation aux dérivées partielles vérifiée par les fonctions âr. — Expression des fonctions âr par les fonctions r. — Équation aux dérivées partielles pour le calcul de la fonction ^^{u), — Sur un système d'équations différentielles.

Dérivées de pu par rapport aux invariants.

La fonction pu dépend de trois variables w, g2f gz- Jusqu'ici nous avons envisagé seulement sa dérivée par rapport à u. Nous allons considérer maintenant ses dérivées par rapport aux deux autres variables. L'homogénéité permet d'écrire immédiatement une relation entre les trois dérivées. En effet, pu est homogène, du degré 2, quand on considère u comme du degré — i, g2^^ gz des degrés 4 et 6. Le théorème des fonctions homogènes fournit donc l'égalité

(*) Le sujet de ce Chapitre offre le plus grand intérêt au point de vue de l'analyse. Il est cependant de peu d'usage pour les applications, sauf toutefois les formules (87) et (Sq).

ags PREMIÈRB Partie. — théorie.

Par l'emploi d'un arlifice 1res simple, nous trouverons une seconde relation entre ces dérivées, et le problème sera résolu. Néanmoins, comme le calcul direct de ces dérivées offre un des meilleurs exemples de la méthode d'intégration expliquée au Chapitre VII, nous ferons ensuite ce calcul direct à titre d'exercice.

Le point de départ est fourni par l'équation fondamentale

P^U= [^-fj^j =4j^'W — ^2PW — ^3.

En dérivant par rapport à chacune des variables g^2j 5^3 > on obtient

, à*pu , . .à pu m à pu

^ duàg^ ^ ' *'^ dg^ * * agi '

, à^pu . . s '^ P " » ^^ P '^

^ du agi ^ **^ Ogi ^ * àgt ^

Observons maintenant l'égalité

à / i Opu\ I c)* p // p" u àpu ^ Ou \p' u Og ) '~ p' u du âg p'^u âg '

divisons, dans chacune des égalités (n), les deux membres par 2p''^ii^ et nous obtenons

/ () / I ()pu\ I

I du\p'u Ogz / ~~ ip'^u

' au \p'u agi / 'ip'^u

Le problème consiste donc à intégrer, par rapport à w, les seconds membres des égalités (3). C'est une question pour laquelle^ au Chapitre VII, nous avons étudié la méthode à suivre.

Vérifions d'abord la relation d'homogénéité (i) par le moyen des égalités (3). La relation (i) fait voir quelle est la dérivée à considérer; c'est la suivante :

Ou\pu ] p'U p * u

De là et des égalités (3) on déduit

Ou^^pu • ''j-''^'ôu[p'u ôgj'^''^'0u\p'u 0^^,

Ou p'u \

CDAPITRE IX. — DÊRIYÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS. 298

Ces deux fonctions, ajant même dérivée par rapport à «, ne diffèrent que par une constante. Il semble d'abord qu'il y ait quelque embarras à déterminer cette constante par l'emploi de la valeur particulière w=o, qui rend infini pu. Mais on doit se

rappeler que (pu ^ j conserve une valeur finie quand u tend

vers zéro, de sorte que les dérivées de pu par rapport à gf et ^3 restent alors finies. On voit donc que les deux fonctions s'évanouissent pour w = o. Donc

u p u\ ° Offt ° agi I

C'est la relation (i), qui se trouve ainsi vérifiée. Faisons un calcul analogue en prenant cette autre dérivée

xipup'u i&p^u — ^2)?"^

Remplaçant p'^w par {6p^u — ^5^2) et réduisant au même dénominateur, on obtient

du\ 3p'a / p'*u

D'après les relations (3), nous concluons

àu\ 3p u I dup'u\ ° ôg^ 3*" og^ J

Pour u infiniment petit, on a

li^oV w/ M=o\ 3p M u/

La fonction, dont le premier membre de (4) contient la dérivée, se réduit donc à zéro avec u\ il en est de même pour celle qui figure au second membre. Donc, en multipliant par 2 à chaque membre, on conclut

^^ '^^' agi "^3^'"^ ^ 2P wî:w-^4p*w— 3^î.

Cette relation (5), jointe à la relation d'homogénéité (i), fait connaître les deux dérivées demandées.

La combinaison de dérivées partielles, qui figure au premier membre de (5) avec les dérivées de pw, jouera dans ce Chapitre un rôle important avec d'autres dérivées. Il conviendra de désigner par une seule lettre D cette opération

Ainsi, pour une fonction quelconque de ff2} gz^ 1^ symbole Y}/ signifiera

Il est évident que l'opération D et celle de dérivation par rapport à une variable indépendante de ^^2? gz sont commutatives^ c'est-à-dire qu'on a

du ^ ~' du'

Ainsi, en différenliant successivement dans l'égalité (5), nous obtenons

Dp'w = iip'"MÎ;a4-48p'w — 8^jpw — 6^8,

De même, en difl'érentiant l'équation d'homogénéité (i), on obtient la relation générale, évidente d'elle-même,

On connaît ainsi les dérivées de pw, p'w, p'^w, ... par rapport à g^^ g3. On voit que les dérivées de p^"^w, outre une partie entière en pw, p'w, contiennent un terme up^^'^^^u et un autre ^u pf'''^*^w, qui ne sont pas doublement périodiques.

Calcul direct des dérivées de pu par rapport aux invariants.

Comme nous l'avons annoncé au début du paragraphe précédent , nous allons calculer directement les dérivées depw, en intégrant les seconds membres des équations (3). A cet effet, nous devons

CHiPITRB IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS. QqS

(Chap. VIT) les décomposer en éléments simples. Dans chacune des formules ci-après, il y aura trois termes semblables ; nous en écrirons un seul, les deux autres seront à déduire par permutation des indices :