II

p'^u {pu — ei){pu — ei){pu^ei) (e,— Cj)(ei — ^3) pu — Ci ipu pu __ ei I

-e,)(ei-

pu^ei (ei — e,)(e, — es) Soient

(9) • { r-TT— T-^T^-T-TH = ^1^

et, de même «a, as, 62» 63, C2, Cs, par permutation des indices. Nous avons

-j^ =a,p(a-+-(i),) — 6,-+-... = — ^[(aiÇ(w-4-w,)-+-6,M]..., -^ = 6,p(M-+-a),) — c, -+-... = — ^[(^iî;(w -h («),)-+- c,w]....

Les seconds membres des égalités (3) sont ainsi sous forme de dérivées par rapport à u. Intégrons et observons, comme précédemment, que les fonctions, dans les nouveaux premiers membres, s'évanouissent pour u= o. Le résultat sera donc

—r- -j— = «1 Ç( w -i- (1)1 ) — ai Ça)i -h 61 M -h . . . , p'u dg^

8 dpu . ^, X . v

-7 r—- = 61 Ç{ M -+- a>i ) — 61 Ça)i -+- Ci M -4-

pa <^^i ^ '

D'après la formule d'addition (V, i5 ),

Yl \ Y Y ï P W— p V

' sipa — Pi?

2g(> PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

en y faisant (^ = W|, on a

(lo) ;(a-ha>,) — î;a)i= Çw-f-;!- '^ "

2 pu — Cl

Soient, pour abréger, (i\) «i-f- a2-+-a3 = a, 61 -+- 6j -+- ^3 = 6, Ci-H Cj-f- 03 = c.

Substituant l'expression (i o) dans les dérivées précédentes, nous les pouvons écrire

u dgz ^^ \pa — Cl pu — et pu — e^J

^ àpu . ^ \ , ( by bi ^3 \

pu agi ^' \pu — ei pu — et pu — Cz/

Réduisons au même dénominateur les termes dans chacune des deux parenthèses. Le dénominateur commun est jp'^u. Quant aux numérateurs, c'est d'abord, pour la première,

aip^u — ai(et -f- e8)pu-+- ai^j^s-f-. . .= aip^u -f- ai^ipa -+- «lejCj-t-. . . ou, sous une autre forme, à cause de ^2^3 = e'f — \ff2f

«1 p* a H- 61 p a -^ Cl — X ^1 «1 -»-

On a donc de cette manière

. S dpu ^ , '>• r % » 1 \

(12) — ; {-- = aÇw -T-6MH — ,- (ap*M4-6pa-h c — \g\CL).

' p u àgz p u ^ *^ » o /

Semblablement le numérateur dans la seconde formule est

bip'^u — bi{et-\-ez)pu-¥- 61^1^3 -h. . .= 6ip*a-4- b^eipu-\- aiCi^j^sH-...

= 6ip»w-f-Cipa -+-î^3«i H-....

Par conséquent

/ os 8 àpu , „ îi / f . 1 \

(i3) -7 '-— =z bX,u -{- eu -i — j—{bp^u-^ cpu-\-\gza).

' pu agi pu' ^ ♦o*/

Il reste seulement à calculer, en fonction de ^2, ^3, les trois fonctions symétriques a, 6, c, définies par les relations (9) et(i 1). C'est une question élémentaire d'Algèbre, qui se résout le plus fa-