CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS

cilement par la méthode des coefficients indéterminés. Le dénominateur, commun à a, bj c, est le discriminant

A=^|— 27^| = i6(e, — e,)'(eî— ^3)'(^8— e,)«,

et l'homogénéité enseigne que, sauf des coefficients numériques a, p, V, on a

Aa = a^,, A6=p^3, Ac = y^Î.

Le calcul se fait donc avec un exemple numérique :

47^— ^sr — ^3 = 47'— 37 — I = (7 — I) ( aj' -H i)«, ^s=3, ^s=i, «1=1,

e» = cj = -

Mf,

Ao-t

Observons les relations

ac - 6» = 2* . 3 ^i^=i|I^ = a».3 i ,

r3 ri- O-î

et concluons de (12), (i 3)

8 / dpu ,àpu\ 2^.3/^ p^u\ 2*

p'u\ dgi dgt ) A V pu) A^*

Remplaçante, b par leurs expressions, supprimant le dénominateur commun A, multipliant aussi par -^ p' u aux deux membres, nous obtenons

, ^dpu dpu ^ ,

c'est la relation (5). On a aussi

d'où se déduit

8 / âpu wàpiiX !>>.3/ pu\

la-' 6-rî— )= __(w-j-2S-),

p u\ ds-t dg^ I A V vu]

, ^ dpu à pu

c'est la relation d'homogénéité (i).

Les formules (12) et (i3) fournissent donc le résultat de la résolution des égalités (i) et (5) par rapport aux deux dérivées. En y substituant les expressions de a, 6, c, nous aurons les formules définitives

du

En prenant, pour chaque terme des seconds membres, le développement suivant les puissances ascendantes de u (IV, 4 et V, 11), on vérifiera que les deux dérivées se réduisent à zéro avec m, comme cela doit être d'après le développement de pw.

Dérivées de ^it par rapport aux invariants.

On obtiendra ces dérivées en intégrant, par rapport à w, les dérivées de pw ; c'est ce qui résulte des égalités

__ () Ç ?/ dpu ô (>Ç

'^ ~" du ^ dg ~~ du Og

Le calcul est immédiat si l'on prend pour point de départ la première égalité (7) après l'avoir écrite ainsi

8°' du du du

-'Â7.^^'^= T-(2pMCw + P'w-i(?'îW).

La fonction, dont la dérivée figure ici au second membre, s'évanouit avec w, en sorte qu'on a

(i5) D Ça = — 2p w ; w — p'w -i- A ^t ",