CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS

à quoi il faut joindre l'équation d'homogénéité

(16) ^^i-ÂZ' -^^^^-TZ- = Î;m — wp"-

Ces deux équations, résolues par rapport aux deux dérivées, donnent

/ àHu

\^'à7;=~ 3ÇM(^îpi^ -1-5^3)-^ 1"(9^3PW -^[gD-^S'tPU,

( ^-^ = iÇwCO^apw-Hi^D-i^iMCi^îP^-Hf g3) + î-^3P'".

On pourrait aisément déduire ces deux dernières, par intégration directe, des relations (i4)-

Dérivées de Cu par rapport aux invariants. Équation aux dérivées partielles. Développement de <^u.

Écrivons l'équation (i5) sous la forme

fi /i

La fonction qui est dérivée au second membre s'évanouit avec u, en sorte qu'on a

D loga'a = Ç^M — pu -h^^2"'« Il convient de modifier le second membre par la relation

et le premier, en mettant à sa place

Dloffa'a= — D^u.

^ du

Le dénominateur du étant alors chassé, on obtient (18) Da'a = (3^M-4-^^,a*CM= -—. -^ A^g^u> :iu.

300 PRBXIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Joignons à celte relation celle d'homogénéité

et nous aurons ainsi les deux nouvelles dérivées de (iu,

La relation (18) constitue une équation aux dérivées partielles, linéaire; remettons pour le symbole D son expression explicite, et nous aurons cette équation

, ^ d^ :fu f) ^u ^ ^ 0 ^u ,

Elle fournit une équation récurrente très commode pour le développement de du suivant les puissances ascendantes de u

Il y a une simplification dans les coefficients numériques avec un changement de notation ;

bs= — 2i/li/lZi 6c =— 3.25^1 -f. 3.23 AJ,

67 = 2'.3*.i9A|A3, ^8= 3 /iî(2'. 23 7*5 -I- £07^5),

Remarques sur l'opération D = 12^3 ^- f ^1 t;7

Parmi les fonctions de g2 et ^3, se trouvent le discriminant A et les racines ^i, ej, e^] et nous allons avoir besoin de connaître le résultat de l'opération D sur ces quantités. D'abord, et c'eît la