CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS. 3oi

cause de l'importance qu'il faul altribuer à cette opération, on trouve immédiatement

Pour les racines ea, le calcul direct est facile ; car on a

Employant ces deux dérivées, formant D, on obtient une fonction rationnelle de la racine ea, fonction que l'on rendra entière par des procédés algébriques bien connus. Mais nous avons ici un moyen bien plus rapide de parvenir au résultat sous sa forme la plus simple.

Supposons w, non plus quelconque, mais égal à une fonction donnée v de g^ et ^3; d'après le théorème des dérivées pour les fonctions composées, on aura

Dpv = (DpM)„=t,-HpV Dr.

Soit maintenant v = u>a, alors pV est nul. Donc l'opération se fera comme si u était quelconque. Donc, d'après (7),

(23; Dea=4^â— J^2 (a = i, 2, 3).

Les considérations analogues sur les autres égalités (7) seront développées plus loin. Voici d'autres combinaisons que nous allons utiliser. D'après (25), nous avons

D(ea— ep) = 4(e* — ej),

et, en divisant par (^a — e^) aux deux membres et tenant compte de ce que {e^ -h e^-i- c^) est nul,

(26) Dlog(ea— ^?)= — 4e., (a, p, 7 = 1, '2, 3;

(27) Dlog(ea — e3)(ea— ej.)= \e^.

2o2 PREMIÈRE PARTIR. — THÉORIE.

Dérivées de ^lUy o'^u, (f^u par rapport aux invariants. Équation aux dérivées partielles. Développement suivant les puissances ascendantes de u [seconde méthode (^)].

D'après les égalités (7) et (^S), nous avons

D (pu- e^) = ip' u î«f -h 4p'w — î<?a> et par conséquent

Dlogv^pa e^= - ^ D {pu- e^) = i^u J^ '' -f- 2(pa-+- e»).

i\^pu — C'x) pu — ^a

Ajoutons cette égalité membre à membre avec celle-ci, obtenue précédemment,

et rappelons-nous la relation (p. igo)

\/pu — €^= -— , d'où résulte

loj; /p u — ^a H- log s'a =r logs'at/, pour conclure

Mais le second membre peut être transformé par le calcul suivant. L'égalité (V, i3)

Ç(w-^ Wa)- Çwx=Ç"^ - -~ 1-'

2 pu — Cfx

SCS deux membres étant élevés au carré, donne

4\pa — Ca/ ^ pa— ea

(') Voir la première méthode à la fin du Cliapitrc VII.