CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS. 3o

Par définition (p. 189), nous avons

(jj.

en sorle que la relation (28) peut s'écrire

Nous avons, d'autre part (à cause de ea+ c^-f- ey= o),

i\pu — eoL/ ^ pu — Col ^ pw — «a

= ^7^7 7 =-[p(w-+-'Oa)-ea].

pw — ea

Il suit de là, au lieu de (28 a), cette autre forme

(28Ô) Dlog3'aa= (^— ) — P("-+-to«)-+-^a-^-TI^l"^

ressemblant extrêmement à celle qui a été obtenue d'abord pour D log<^w. Pour obtenir la forme définitive analogue à (18), observons la relation

Donc enfin, en chassant le dénominateur, nous obtenons (29) Da'aM= -j^4-(ea-f-i^^jw')3'aw, (« = ', 2, 3).

Nous devons joindre l'équation d'homogénéité, à savoir, comme 3*01 w est du degré zéro,

La relation (29) constitue une équation aux dérivées partielles.

3o4 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

linéaire^ qui diffère, par un seul terme, de réquation (ai),

<^'> -à- - ■"^' -^ir ~'^' "ïi^ ^ ^''"■^ iV^."') =•»« = o

Gomme il y figure, oulre g^ et gz^ encore la quantilé é*a, on peut mettre celte dernière en évidence dans les deux termes du milieu en écrivant, d'après (aS),

Nous avons par là une équation récurrente fort simple pour le développement de d^u suivant les puissances ascendantes de u :

Si Ton veut abaisser au-dessous de "^ les exposants de ea dans les coefficients, il sera commode d'approprier la formule récurrente à cette exigence, en posant

On aura ainsi

==7A„eJ-h3B«eJ— {'tg^Xn-^ On)ey,— \giïin = 3B„e2 -+- (/^^iA,j— G«)ea-i-|^3A,i — J ^,B„.

La formule récurrente se décompose alors en ces trois autres

()A,-,-i , , ()A„-i in —^)('yn '\) '^" = ' '^^^ '0^ '^^^'^ 'Og- G -^ ^'-^ -- ^ ^^'^ -^ '

B., = i2^-3-j-— + f^i-;^ ^ ^%B„-.-h/^-zr2A..i-a,,,

^O 2 ^O 3 " C,i = 12^3-^— -^3^2 -^-- ^i i'^2C;,..2 r-^^'aA„-i-J^2B«i,