TV

CHAP. II. — ARGUMENTS IMAGINAIRES. — DOLBLE PÉRIODICITÉ. 33 ^ î^ C! ^

aussi le signe du premier membre. Par suite, d'après (4), la «- ^' i ^ formule subsiste si Ton y suppose u elv purement imaginaires. On \ .^ ^ aperçoit encore l'exactitude de la formule d'addition d'une ma- . , \ |^ \ nièrc bien simple dans l'égalité (I, 24). La supposition que u et v ^ "^^^^ ^ sont purement imaginaires a pour effet de remplacer chaquep par ^^ ^ <) — J3 et chaque p' par ip' , En conséquence, la relation ^^ 3 ^

y- n'est pas troublée.

^j >^ On voit aussi par les relations (4) et (5) que p et p' conservent, I H pour les arguments purement imaginaires, la propriété d'être, la première une fonction paire, la seconde une fonction impaire, et de devenir infinies quand l'argument est nul. Quant à la périodicité, elle existe encore, mais la période est changée. Désignons >sla nouvelle période par aw'. Ce sera une quantité purement ima- X

» Lunaire et -r- sera réel. t*

';n La période sco'. ^v

Il est aisé de reconnaître ce qu'est cette période. Rappelons-nous ^^^^

^ les relations suivantes : /f^< i^ '" ■*" ■l

On voit, par les deux premières, que le changement de ^3 en *

: >i^ — ^3 a pour effet de changer les signes des trois racines e. Comme v

I \>^ on doit les ranger par ordre de grandeur, on doit remplacerai par ^

Vi v^*^ — ^3' ^2 P^'' — ^^» ^3 P^*^ — ^'* Parla k'^ et k'^ s'échangent entre ^

cux/Donc la fonction j3, avec les invariants ^2 et — ^3, est définie ^

par la fonction sn, au module A', comme la fonction p{ii', 5^2, g:\) X ^ par sn(w,Â'). Remarquons, en outre, que le multiplicateur )s,

n'est pas altéré. Si donc K' est l'analogue de K, mais pour le mo- . >, \ dule /{', on aura ^

Ni

-îT-

Nous avons VU la signification de e^ , traduite (p. '26) par la relation Changeant gz en — ^3, on a donc

De là, d'après la déûnition (4)^ nous concluons

Arg^oments complexes. — Déûnition de p{a^i%).

Connaissant la fonction p pour les arguments réels et pour les arguments purement imaginaires, nous ladéfmirons, pour un argument imaginaire quelconque, par la formule d'addition.

Donc, par définition , pour le cas 11 = a -h ioi, a et ol étant réels, nous aurons /- -' / "

(6) pu = ; — z •

'JL{pa—piOL)^

Dérivée.

Pour un instant, remettons, dans le second membre, une variable réelle a', au lieu de (a, et soit ainsi

Comme /(a, a') n'est autre que p{a -\- a'), les dérivées partielles de/ par rapport à « ou par rapport à a' sont égales entre elles; c'est p'{a -j- a'). Celte égalité

Of^^ ()/ ôa OcP

n'a pas lieu identiquement, mais en vertu de la seule relation

satisfaite par p'a^ pa, aussi bien que par j)'^/, pn'. La même égalité a donc lieu encore si l'on attribue aux symboles j3, p' des significations quelconques, pourvu que la même relation soit véri-

^/^< t ' Jl c' - .

fiée entre p' et p. Or, on vient de le reconnaître, il en est ainsi quand on suppose a' purement imaginaire. Donc, d'après la définition (6), on a

ô p // r> p H dp u fip 11

àa à{ioL) d{a-^ioL) du

Ainsi p«/, qui se présentait sous la forme d'une fonction de deux variables a et a, est légitimement considérée comme une fonction de la seule variable a -H *a, et possède une dérivée bien déterminée. Cette dérivée, qui se réduit bien à p'a ou p' ît. quand a ou a sont nuls, sera désignée encore par p' ii.

Il importe de démontrer que la fonction pw, ainsi entendue, a les propriétés déjà reconnues pour les cas où u est réel ou bien purement imaginaire.

Relation entre pu et p'u.

Quand u est imaginaire, on a, comme dans les autres cas,

(7) p'*" = îj>'« — ^iPt' — ffi'

Effectivement l'égalité

a lieu, quand a et a' sont réels. Elle a lieu, non pas identiquement, mais en vertu de cette même égalité, supposée vraie pourp^/ et pour pc^. Donc, par le même raisonnement que tout à Theure, on voit qu'elle a lieu pour a' purement imaginaire ; c'est ce qu'il fallait prouver.

Addition des arguments.

Quand u et r sont imaginaires, la formule d'addition est exacte. Nous allons l'établir.

Considérons quatre arguments a^ a', 6, 6', et posons

u = a^ a\ Ui = a -h bj r =6-4-6', V, = a'4-6'.

Envisageons la fonction

Si a, 6, a', V sont réels, /(«, i^)et/(e/|, i'i)exprimenl tous deux

et U se réduit à Tunité. Pour faire apparaître cette valeur de U, il faudra exprimer J3W, p'w, pi', p'i' au numcralcur et pwi, p'wn jx'i, pVi au dénominateur par les fonctions des arguments a, «', />, 6'; puis, par la relation (7), réduire les deux termes à ne contenir les p' qu'au premier deij^ré. Nécessairement alors les deux termes de U deviendront identiques.

Voici donc les conditions analytiques sous lesquelles Use réduit à l'unité : 1° les symboles p et p', avec les quatre arguments w, r, f/i, ('i, s'expriment par les mêmes symboles avec les arguments «, a', bn b\ conformément aux formules d'addition; 2" ces derniers satisfont à la relation (7 ).

Supposons maintenant, dans U, a'=: /a, 6'= ijî, a et j3 étant réels. La seconde condition est satisfaite. Quant à la première en ce qui concerne les arguments u et i», elle est satisfaite par définilion; en ce qui concerne Wj et t^i, dont le premier est réel, le second purement imaginaire, elle est satisfaite aussi, comme on l'a démontré. Donc, dans ce cas aussi, U= i. D'ailleurs /(f/|, t^i ) est la défmition de p{a-\- ioL -\- h -\- i^) \ f{Uy r) est le second memhre de la formule d'addition avec les arguments an- fa, b -h « j3. . Donc la formule d'addition a lieu pour des arguments imaginaires

quelconques.

Homogénéité.

Les relations d'homogénéité ont lieu pour un argument imaginaire quelconque. Cela est évident à cause de l'homogénéité de la formule d'addition..

En particulier, les relations (4) et (5) ont lieu dans tous les

cas.

Double périodicité.

La formule d'addition ayant lieu avec un argument imaginaire (pielconque, il est clair que les cas particuliers suivants ont lieu

aussi f

l){u-\- lia) — ym, p{u -1- 2(jj') = pu.

Donc pu est doublement périodique. De même p' u et toutes les di-rivées de pu admettent les deux périodes 20), aw'.

CHAP. II. — ARGUMENTS IMAGINAIRES. — DOUBLE PÉRIODICITÉ. 3'j

Addition des demi-périodes.

On a déjà vu que, les trois racines ei, ^2? <?3 étant rangées dans Tordre décroissant, les deux extrêmes sont les valeurs de p pour les demi-périodes w et co':

D'après la relation

p'»î/ = 4(pî<— e,)(jw/— c,)(j>'/ — ^3), on a

p'tij = O, p'Ui' = o.

Cette circonstance simplifie l'expression de p{u -r- r) quand ou suppose ^ = (0 ou r = w'. Soient r = w, pi' = ei. Nous aurons

p(w-Hco> = — (pi/ -t-e,)H- 7 , — ^ r

(pff —et)(pff ^e:i)

=z-~(pii-^ei)-^

pu — ei

— PI/ -+-^1 — £?* — e^ f- ^ ^^

pu -ei J>" — fi

pu — Cl

La formule se réduit ainsi à

(8) j)(l/ -f-CO) — <?! = -

Elle pouvait se déduire des formules donnant sn(^/-hK) el cn(// 4- K), établies au début (I, 8).

La symétrie parfaite qui existe entre les deux racines Ct, Cn montre qu'on a de même

Si dans (8) on suppose pi/= e^ ou, dans (8 a), pitz=ei^ on trouve

égalité qui montre la signification de la troisième racine e^. Par le même calcul que pourp(?/ -|- w), on obtient aussi

(8£>) n(t/ -f- a> -+-CO ) — e^ = ^ — = •

pu — Ct

Il y a, comme on voit, trois demi-périodes w, w' eta>"= a> + w', répondant aux trois racines ^i, ^2, e^. Pour chacune d'elles, la fonction p' devient nulle.

Inûnis de la fonction pu.

Comme snu est nul, p;^ est inûni pour 11 = 0. D'ailleurs la dérivée de snw, qui est cnudnu se réduit alors à l'unité. Donc

a pour limite l'unité. Donc u^pu a pour limite l'unité quand

n converge vers zéro par des valeurs réelles. Il en est de même quand u converge vers zéro par des valeurs imaginaires quelconques. On le déduit facilement de la définition (6) ; on peut aussi le prouver par un calcul qui se trouvera plus loin (p. 77). A cause de la double périodicité, on voit que pu devient infini pour

snu u

u= inuti-h' 2m' (jù'^

m et m' étant des entiers quelconques, et que l'on a

lim (u — imta — -im' vù' )^ p u = i.

Il importe de s'assurer que pu ne devient pas infini pour d'autres valeurs de u.

Quand u prend seulement des valeurs réelles, pu n'a pas d'autre infini que les valeurs f/ = 2m(i>; et, quand u prend des valeurs purement imaginaires, les seuls infinis sont 2 m' 10'.

Soient a et a réels. Comme pa varie de ^1 à -f- oo , il est toujours positif; comme pioL varie de -f- ^3 à — 00, il est toujours négatif. Donc pa — pioi est la somme de deux quantités positives, dont aucune n'est nulle; cette quantité n'est donc jamais nulle. Donc, d'après (6), p(a-i-/a) ne peut devenir infini que si le numérateur de (6) est infini; mais, si l'une seulement des deux quantités pa ou pia. est infinie, p(a -+- It.) n'est pas infini. Dans l'un ou l'autre cas, on obtient p^ioL-^ iniiù) ou p(a -f- 2m'io'), c'est-à-dire p ta ou pa. Il faut donc, pour que p{a + It) soit infini, que pa et pioL soient tous deux infinis et qu'ainsi l'on ait

Comme p'u est lié à pu par la relation

p'«a= ip^u — i^tpu — gz, p'u ne devient infini qu'avec pu.

CHAP. II. — ARGUMENTS IMAGINAIRES. — DOUBLE PÉRIODICITÉ. Sq

Diverses valeurs de u pour une môme valeur de pi/.

La double propriété que possède pu d'être paire et doublement périodique montre que l'équation

pM = p«;, où l'inconnue est Uj admet les solutions

où m et m' sont des entiers quelconques. Elle n!a pas d* autre solution.

En effet, prenons la formule d'addition et changeons-y p en — Vj

p(MH-p)-f-pz*-f-p(>= 7 ( ' *— ) ,

En retranchant membre à membre, nous obtenons

Si donc l'équation proposée est satisfaite, le second membre de cette dernière est infini; donc p(f/ — r) ou p(w + i^) sont infinis. Donc on n'a pas d'autre solution que celles qu'on a remarquées d'abord.

La fonction p u passe par toutes les valeurs réelles

ou imaginaires.

Soit d'abord a un argument réel et variable. On sait que pa passe par toutes les valeurs réelles depuis e^ jusqu'à + oo .

Soit aussi £a un argument purement imaginaire. On sait que p£a passe par toutes les valeurs réelles (négatives) depuis e^ jusqu'à

Rappelons-nous aussi que l'on a

«I > «1 > «j- En mettant a au lieu de u dans (8a) et écrivant

4o PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

on voit que p(a + w') est réel et décroît de €2 à e^ quand pa croît de ^1 à -I- 00 . Donc, pour les arguments imaginaires de la forme a -h 10', la fonction p est réelle et passe par toutes les valeurs comprises entre e^ et e^»

En mettant la au lieu de u dans (8), on a

[ei — p(ioL -h (a)]{ei — pia) = {ei — et) (ei — Ci).

De là résulte que, pioL variant de 63 à — 00 , J3(ia -{- w) est réel et varie de €2 à e|. Ainsi, pour les arguments w -j- ia, la fonction j) est réelle et acquiert toutes les valeurs comprises entre €2 et e<. D'autre part, on a

et cette relation fait voir que p' est réel quand j3 est supérieur à ^, ou compris entre €2 et e^, purement imaginaire quand p est inférieur à €3 ou compris entre Ci et €2»

Les divers arguments qui correspondent à une valeur donnée pc, pour la fonction j3, sont tous compris dans les deux formes

p H- amco -ham'to', — p -t- 2m(i) -+- 2mV;

p' est une fonction impaire. Si donc on donne à la fois p et jV, Targument est entièrement déterminé, à des multiples près des périodes. Donc :

1° pu et p'u étant donnés, tous deux réels, il y correspond (à des multiples près des périodes) un seul argument qui est ou Lien réel ou la somme d'une quantité réelle et de la demi-période 10';

2° pu et p'u étant donnés, le premier réel, le second purement imaginaire, il y correspond (à des multiples près des périodes) un seul argument, qui est ou bien purement imaginaire ou la somme d'une quantité purement imaginaire cl de la demi-période (o.

Démontrons maintenant le théorème fondamental :

Il existe un argument u et un seul (à des multiples près des périodes) pour lequel pu et p'u soient respectivement égaux à des quantités imaginaires données, vérifiant la relation

Il s'agit de trouver les deux parties a et ia dont la somme compose u. Pour conserver la symétrie dans l'écriture, mettons b au lieu de la; il est entendu que a est réel, b purement imaginaire.

CUAP. 11. — ARGUMENTS IMAGIXAIRES. — DOUBLE PÉRIODICITÉ. f\l

Employons le théorème d^addition (I, aS) qui fournit les deux équations

^^-^^ p(a-r-ô) —pa ~ p{it^b)~-^b " ^'

(10) \^(a-\-b)-^pa-^pb = \%^.

Soient donnés

pu — p{a'\-h)r-i K -i- t'B,

Il s'agit de trouver ^a et i^a^ tous deux réels; jd6 et ylh^ le premier réel, le second purement iitiaginaire. Prenons pour inconnue le rapport commun Ç = j: + iy. En séparant le réel et Timaginaire, nous tirons des deux rapports (9) les quatre équations

(11) k'-\'p'a = kx — B^' — xpa^ B'-h - p'^ = A^' -h Bjt -^'J>^;

(12) B' = Aj-+-Bar — 7pa, A' = Ax — Bj — irp6.

Tirons j) AT et pi des deux dernières (1 2) et substituons dans(io), après y avoir mis i^x + ly) au lieu de ç, puis séparons les parties réelles et les parties imaginaires. Nous aurons ainsi deux équations entre les inconnues x^ y. Les voici :

3Aa^'-i- (B ~\xy') (or^—y^) — B't — A'j = o,

ory{ly — ljy) = o.

Rejetons la solution étrangère xy = o; nous avons ainsi

xy = 2 B, et, en éliminant j)', nous parvenons à la résolvante

x^— -^xT-T-i2Ax2 — 4A'j: — 4B2 z=0.

Le terme indépendant de x ayant le signe — , celte équation a des racines réelles; prenons-en une, nous aurons pour y la valeur

réelle — 9 puis pa', pb seront donnés sous forme réelle par les

équations (12), ainsi que p'a et -r p'b par les équations (11). D'après l'étude faite précédemment, pa et p'a étant réels, a sera

réel, ou réel plus w'; de même b sera ou purement imaginaire, ou bien purement imaginaire plus w. Que les uns ou les autres de ces cas aient lieu, on aura trouvé un argument u = a-i- b^ et le théorème est prouvé, car il n'en peut exister qu'un seul.

yl posteriori, on peut se rendre compte de la raison pour laquelle la résolvante est du quatrième degré et reconnaître que ses quatre racines sont réelles. Nous avons exprimé que pa, pè, p'a sont réels et pb purement imaginaire. L'argument u est unique (à des multiples près des périodes); soient M = a-+- tp, a et ^ étant réels; le problème, tel que nous l'avons mis en équation, comporte les quatre solutions suivantes :

a = a, b = ep;

o = a-Hto', ^, = //3— ^4 j;

A chacune de ces solutions correspond un couple diflerent de valeurs réelles pour x et y.

Sur les signes de p'u ou de ^ quand pu est réel.

On rencontre à chaque instant, dans les applications, des arguments u qui correspondent à des valeurs réelles de pu, et il est nécessaire de n'avoir pas à rechercher chaque fois le signe de p'u

ou de ^» Les formules d'addition des demi-périodes permettent

aisément de trouver ces signes.

En premier lieu, pour un argument réel a, p'a est négatif quand a est compris entre zéro et co, et change de signe chaque fois que a, en variant, passe par un multiple de lo.

En second lieu, pour un argument purement imaginaire ta, 2--

est, de même, négatif quand a est compris entre zéro et -r> et change de signe chaque fois que a, en variant, passe par un multiple de — •

Ce sont là les conséquences immédiates des définitions ; ce sont

aiissî les réponses à la question quand pu est supérieur à Ct pour le premier cas, inférieur à e^ pour le second.

Soit maintenant // = (a/i -f- i)o>'+ a, a étant réel, en sorte que pu est compris entre e^ et 62- On a

pu — ez= j n w = : TT — p a.

De là suit que p'u a le signe opposé à celui de p'a. Ainsi p'u est positif quand w — (2/1 -h i)cj' est réel et compris entre zéro et o).

Soit enfin w =(2/14-1)0) + ta, a étant réel, par suite pu entre i'2 et ^1 . On a

(ei — f'aXe?! — es) i ,,^ (<?! — ^i)(gi— ^3) p'i^

p H ei= ; > - p U = ; : r- •

rar suite, ^-r- est positif quand r est réel, compris

tu'

entre zéro et -. •

Dégénérescence àe pu.

On a vu, dans le Chapitre I, comment pu dégénère en fonction circulaire ou exponentielle suivant le signe de ^3. Le changement de gz en — «3 n'altère pas le discriminant, qui devient nul quand la fonction dégénère. Donc p(£/; ^2> g^s) et p(w; ^2> — ^3)<légénèrent en même temps, mais Tun en fonction circulaire, l'autre en fonction exponentielle. La définition que nous avons adoptée pour J3(a-h l'a) entraîne ainsi avec elle une définition des fonctions circulaires et des fonctions exponentielles aux arguments imaginaires et un lien entre ces deux espèces de fonctions. Ces faits sont-ils conformes à ceux que Ton a précédemment introduits en Analyse et qui découlent de la formule d'Euler

On va reconnaître qu'il en est bien ainsi. Prenons les formules du Chapitre I, en supposant, par exemple, ^3 <I o ; nous aurons

nOz-^ ^\-^^' 9 ^3/e^-i-e-^V

2^î a fTi s»n^^

D'après la définition (4),

p('"; ^2» ffi) = --p("; ^î» — ffi)y

nous aurons comme définition de e'*', en substituant et suppri mant le facteur commun,

Extrayant la racine carrée, nous obtenons

e'^ = cos V -h i sin r, e-'* = cos v — i sin v.

En faisant la supposition opposée g^ >> o ou bien changeant ici ç en A', nous aurons la définition de cos^V et sin^V pour v réel; puis, pour un argument complexe, les formules d'addition définissent de la manière la plus générale les fonctions circulaires el exponentielles, conformément, on le voit, à ce qui est d'usage.

Les fonctions snu, cni^, ùnu d'arguments imaginaires.

La fonction sna a servi pour former j) u quand l'argument était réel. Inversement, pw, qui est maintenant connu pour les arguments imaginaires, va servir à définir sna d'une manière générale.

Rappelons les relations suivantes, trouvées au Chapitre I :

'"'^''n'' ""'--"Tx"' ^^""""ST"'

d'où résulte, par la définition (I, 20) de pu et les relations (I, 4, tl) entre sn^w, cn^w, dn^u^

cn^-— cln2-r X(j)w-e3)= -^ l{pu-^et)= —, À(jw/-ej)= —>

/à và /X

\'M conséquence, nous avons

sn

(In w =

V pv — e^'

w'= ay/A = ■ L ) A-= 4/-^ •

Il n'y a aucun obstacle à supposer, dans ces relations (i 4), que v soit imaginaire, et nous aurons ainsi la définition de snw, en;/, ilnu pour un argument imaginaire quelconque. Cependant une difficulté subsiste à l'égard du signe des radicaux. On trouvera, dans le Chapitre VI, par des moyens directs, la preuve que les

trois radicaux y/ jji' — 6' peuvent être remplacés par des fonctions dépourvues de toute ambiguïté. Ici, au contraire, nous allons faire disparaître Tambiguïté de sn//, en//, dnu par ces fonctions ellesmêmes.

Pour abréger, employons la notation

jHw; /Ç-î» — .^"3) = j>w,

en sorte que, pu se rapportant aux invariants ^2, ^3, jpw, surmonté d'un trait, se rapporte aux invariants ^2? — fftt- Rappelons-nous (|ue, d'après (i3), ainsi qu'on Ta déjà observé précédemment, l'échange de ^:i en — g^ entraîne celui de A* et k' sans changer ).. Nous aurons donc, suivant les équations (i4)> en mettant les modules en évidence,

sn(w, k) =^ 4/-':L^1, sn(£/, A') = i/ll-^;

en(«,A)^4/ZEZ, en(a,AO =4/^^11^; V P^ — e-i y j>iM-tf,'

Dans les premières, mettons iu au lieu de //, et rappelons-nous

46 PREMIÈRE PARTIE. — TDÉORIE.

que p(fV) = — pç; nous aurons

sn(iw,A-) = l/ — = =±i — —-,, :

en

en (m, k')

j /• fx - /p t" -H ej . dn(w,A')

dn iw, A)=l/î^ ^ =±. — 7-^,/'

^ V J^^'"'~^3 en (m, A)

Les trois fonctions d'argument iu doivent, pour la continuité, satisfaire, comme avec l'argument réel, aux conditions

=1 enw=i. unw = i, pour «/ = o.

On voit que ces conditions exigent qu'on prenne les signes -}-. Nous écrirons donc

. .sn(a,A:')

sn(m, A) = i — j-f-y

^ ' en (a, A)

(i5) { en (m, k) =

en (a, A';

... , dn(M, A')

dn(ia, A) = — ) ',/»

^ ' ^ en (a, A')

Ce seront là les définitions des trois fonctions pour un argument purement imaginaire; puis les formules d'addition serviront à définir les trois fonctions pour un argument complexe. Ainsi, de même que pu, les trois fonctions snUy cnw, dnu sont connues sans aucune ambiguïté pour un argument imaginaire quelconque.

Comme corollaire, nous concluons que les trois radicaux

\/pu — e sont dépourvus d'ambiguïté :

^pç — e^ =

sni/

en 1/

('^"0 i ^pv — ei — v^Ci— ea

sn u dn ri

\ suit

u = .We,-e„ A = ^?t--^'

CHAP. II. — ARGUMENTS IMAGINAIRES. — DOUBLE PÉRIODICITÉ. l\-

Addition des demi-périodes.

Pour sn, en, dn, les périodes sont aK, 2«K'. On sait par les définitions du début (p. 5) que l'on a

sn(M-i-2K)= — sniij cn(M -i- aK) = — cnw, dn(t£ -t- 2 K) = dn//.

Parles relations (i5), on aura aussi

sn(w -t- 2i*K')= sni/, cn(t/ -4- 2tK') = — cnw, iIn(M -h aïK') = — dn w.

Pour l'addition des demi-périodes, on a trouvé au début, en ce qui concerne K (I, 8, 8^, 86),

sn ( // -T- K ) — -, — »

^ (In //

(17) * cn(// -;- K) = — k

(ln(w-H K) =

dn //

[ln // On en déduit, par l'intermédiaire des relations (i5),

sn(w-i-iK') = 7 >

Ksnu

, ..,. dn M

< Cn(//-+-lK)= -r; >

i lA'sn//

dn(//-h *K ) = -:

/ sn II

Kn combinant enfin les équations (17) et (18), on obtieni

, -, .,,, dm/

sn ( // -h K -:- I K ) = -i- -,

A- en//

(-9) <'cn(«-»-K-»K')=g.^,

dn ( // -^ K H- / K' ) = /A' ^ — .

en//

Zéros et infinis de sn //, en u^ dn u.

Des relations (i 4) résulte que les trois fonctions sont infinies quand J3(m y/).) est égal à^a; ainsi les infinis de sn//, en//, dn// sont

I K' -- '1 m K -+- inî i K'.

que p(fV)== — pp; nous aurons

.sn{Uj k') sn(iw,A-) = l/ — i- ^— = =î= t

y —pv — Ci

cn(iUyk) = i/'-

cn(Uy A')

-h €3 cn(w, A'j

j /• fx - /f> t' -H e j , dn(w,A')

Les trois fonctions d'argument iu doivent, pour la continuité, satisfaire, comme avec l'argument réel, aux conditions

snu ,

=1, cni/=i. dnM = i, pour M = o.

On voit que ces conditions exigent qu'on prenne les signes -j-. Nous écrirons donc

.sn(u,k') sn(iM,A) = * — jr-y

(i5) { en (m, k) =

cn(w, A')

... , dn( w, A')

dn(iM, A) = — ; '',/- ^ ' cn(M, A')

Ce seront là les définitions des trois fonctions pour un argument purement imaginaire; puis les formules d'addition serviront à définir les trois fonctions pour un argument complexe. Ainsi, de même que pu^ les trois fonctions snw, cnw, dnu sont connues sans aucune ambiguïté pour un argument imaginaire quelconque.

Comme corollaire, nous concluons que les trois radicaux

\/pu — e sont dépourvus d'ambiguïté :

>/pv~-ei =

(lO) ■ y/pt;ej = \/ei —

snu

en tf

sn u dn ri

^pi; — et = \/ei—e3

\ SUti

U ^v v/ei — éfj, A = 4 /

CHAP. II. — ARGUMENTS IMAGINAIRES. — DOUBLE PÉRIODICITÉ. /jj

Addition des demi-périodes.

Pour sn, en, dn, les périodes sont aK, a/K'. On sait par les définitions du début (p. 5) que Ton a

sn(w-i-2K)= — snuy cn(M -*-2K) = — cnt/, cln(M -t- 2 K) = dn//.

Parles relations (i5), on aura aussi

sn(M -t- 2/K') = snM, cii(« -4- at'K') = — en//, dn(// 4-aiK') = — dnw.

Pour Taddition des demi-périodes, on a trouvé au début, en ce qui concerne K (I, 8, 8^, 86),

pnri/ -r- K) — -, — , ^ du u

(17) / cn(// - K) = — A-

dn{//-H K) =

dn 1/

On en déduit, par l'intermédiaire des relations (i5),

sn(//-'-iK') = -; ,

A'snu

, .,.,. dnw

< en ( w -4- i K ) = -n )

1 ik sn u

dn(i/-h iK ) = ". .

isnu

En combinant enfin les équations (i-) et (18), on obtieni

sn(w -h K -- iK ) = -, - ,

kcnu

(19) ' cn(//-H K-T- t'K') =^ ,

^ -^ ' ^ ^ tk CHU

i\n{u -h K -\- iW) = ik' - — .

cnw

Zéros et infinis de snu, en//, duu.

Des relations (i^) résulte que les trois fonctions sont infinies quand p(My/>») est égal 'dC^] ainsi les infinis de sn^/, cnu, dn//sont

i K' - 'imK-r- 2m' i K'.

f\S . PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Les zéros de sn u correspondent aux infinis de p\ u y^O ; donc

sn(2mK -^ ini'iK') = o.

Les zéros de cnzi correspondent 'd p[u y/)v) = ei ; donc

en ( K -^ 2 m K ~- 2 m' I K') = o. Les zéros de dn w correspondent à p(u \.\ ) = ^2 ; donc , cIn(K -i- t'K'-^ 2/?iK-+- 2/?i'tK') = o.

Diverses valeurs de l'argument pour une môme valeur de la fonction sn Uy ou en u, ou dn u.

Soit à résoudre par rapport à l'inconnue i^ Téquation

sn a := snv.

On en déduit

donc

p y/X = r: w /X -T- 2 ni to -+- 2 m' w', c'est-à-dire,

i> = ir « -+- 2 m K -h 2 m' iK\

Mais, parmi les formes de i^ comprises dans cette égalité, deux <Ionncnt sn i^ = — sn w ; ce sont les suivantes :

i> =' M H- ( 4 /i -i- 2 ) K H- 2 mT K',

Les deux autres donnent bien snt^ = + snii. Ce sont les seules solutions du problème. Ainsi l'équation snt^ = snM admets pour solution générale^

\ «f-^ imK-^2m'iK'

( — MH- (4//IH- 2) K -^ 2m'iK'.

De même V équation en t^ = en u admets pour solution générale,

V = ±1 u-v- 2(2//n- /i)Kh- 2(2/n'-+- n)iK\

^^ dnt^3= dnw admets pour solution générale,

i^ = rh M -f- 2//1K M- \ in'iK',

Enfin il a été prouvé que pu passe par toutes les valeurs imaginaires. Donc aussi snw, cnw, Anu passent par toutes les valeurs imaginaires.

Les six modules conjugués.

DsinspUyles trois quantités ei, ^2? ^3 jouent un rôle entièrement svraélrique. Il est donc naturel de les permuter entre elles ; comme elles jouent un rôle dissymétrique pour la définition de sn, en, dn, on aura par(i4) la définition de ces fonctions pour divers modules, au nombre de six, qu'on pourra appeler modules conjugués. Deux seulement, k et A"', sont compris entre zéro et Tunité positive. Les carrés des quatre autres sont réels, mais ou négatifs ou supérieurs à l'unité.

La liaison entre les fonctions à modules conjugués se déduit immédiatement de (i 4 )• Par exemple, si l'on permute ^i et ^2, le nouveau module esti/- — ^> c'est-à-dire r; le nouveau multiplicaleur est j c'est-à-dire -r; : on a donc

'"^■■■'^-WÂ^'-~r^-VÂM^-'-''<'^''^

et de même

Les formules (i5) ont déjà exprimé la liaison entre les fonctions à module k' et celles à module k. En combinant les dernières avec (i5), on a les quatre autres groupes de relations analogues; mais il n'y a aucune utilité à les rapporter ici. Ces formules n'ont qu'un intérêt historique.

Quarts de périodes.

On a trouvé au début (p. 6)

sn — = — — ^-, en — 1/ jT» dn— -- v^A •

Tenant compte des expressions (i3),

V ^1 — <?3 ^l—Ci

on en déduit

f p'~ = — a(ei— C8)v/ei — c, — 5i(e| — e,)v/ei— «8- On aura semblablement, par le changement de ei, €2, ez en — ^i,

p—. = — e8-i-/(e,— e3)(e,— es),

p' —. = — 2(ei-- «s) V^«î— «a— a(ei— «3) /«i — «3 ;

ai V

et, puisque

il en résulte

p- =— pa, p -. = 7P"»

P Y ^ ^3— /(«î— «3)(ei — ^3 ),

(ai) ;

p' — = — ai(e|— e8)v/ej— ^3 — ai(«î— «3)/«i — «3'

Dans ces formules ( 20) et ( 2 1), les radicaux, qui sont tous réels, sont, bien entendu, pris positivement.

Par suite de la symétrie, on peut affirmer d'avance que les diverses expressions analogues où les e seront permutés et les signes des radicaux changés, correspondront de même à d'autres quarts de période.

Les quarts de période sont (à des multiples près des périodes)

les divers arguments 1 > où m et m' sont les nombres o,

1,2,3, sans être à la fois pairs tous deux. Il y a donc douze semblables arguments, dont chacun correspond à un second de telle sorte que la somme soit une période; on peut donc les réduire à six paires, en adjoignant à chacun l'argument égal et de signe contraire. Ainsi à - on adjoindra — -; à — > parles formules

p(— w) = p(a), p'(-w) = — P'w- Les formules (20) et (21) peuvent donc être envisagées comme se rapportant à quatre arguments dz -> ±: — • Il reste à trouver quatre

CHAP. II. — ARGUMENTS IMAGINAIRES. — DOUBLE PÉRIODICITÉ. 5l

formules analogues. C'est ce que nous allons faire au moyen (lu théorème d'addition. Mais d'abord, par l'addition des demipériodes, nous pouvons vérifier la forme commune aux expressions de p et p'pour tous ces arguments.

Soient a, ^, y les nombres i, a, 3 dans un ordre quelconque; posons

1** Si l'on prend

u est un quart de période. Soit effectivement (o^ la demi-période (]ui correspond à e<xf c'est-à-dire e^ = pcoa. Nous avons (8)

p(w — a)a) = pa.

Donc la somme ou la différence des deux arguments (// — (Oa), w, est une période. Ce ne peut être la différence; donc

aw — t»Qi= imoi M- làm'ui'j

a = — ^ -4- /nu) -H m (o .

C'est ce qu'il fallait prouver.

1^ Cherchons l'expression de p'u. Nous avons

pa — eoL^ibc, pu — ep=c'-i-iôc, pu — Cy = — b^-^-ibc^

p'u = dz 7Libc{c -+- ib).

En remettant, dans ces formules, pour h, c, leurs expressions, nous voyons que les quarts de période sont caractérisés par les formules suivantes :

Dans ces formules, chaque radical est pris partout de la même manière. En variant les déterminations des deux radicaux, on obtient quatre couples de formules, quatre arguments différents :

ce sont les arguments dont les doubles reproduisent la dèmî-période coa, à des périodes près, par conséquent

tÙ'x

Wot r Wa ,

Il nous faut maintenant, parmi ces quatre arguments, chercher auquel se rapporte chacune des quatre déterminations de p et p'. C'est ce que nous allons faire pour chacun des trois cas a= i, a = 3, a = 2.

Au cas a= I, nous avons déjà les formules (20). La seconde paire de formules sera

pu = et — \/ei — Ci >Jex — ^3, p'u = 2(ei— «8)/<?i — Cj — 2(ei — ej) /e, — C3,

et il s'agit de savoir si u est égal à — h o>' ou bien à — ( - + o>' ) . Or

nous avons vu, dans ce Chapitre, qu'à un argument (o>'+ a), où a est compris entre zéro et w, répond une valeur positive de p. L'expression écrite ici pour p'u représente une quantité positive,

les deux radicaux élant pris positivement; donc «^=7 4- w'.

Pour a = 3, nous avons déjà les formules ( 2 1). La seconde paire de formules sera

pç = ei-{- /ei — 63/^2— ^3,

p'v = 21(^1 — es) /e,— e3 — 2l(<?2 — ^3)/^! — 63;

r est égal àTun ou l'autre des arguments ± (— -+-a)j. Nous avons

vu que ^ est positif quand — ; — est compris entre zéro et -. ;

donc ici r = — h o>.

U nous reste à examiner le groupe de formules répondant à a=:';». C'est pour ce but que nous allons appliquer le théorème général d'addition (I, aS).

Soient deux arguments u, v^ moitié chacun d'une demi-période

différente,

pu = «a -H ibcj pç = ep H- ica ;

pu = iibc{c -h ib)y p'v = 'iica(a h- ic).

Formons d'abord le rapport - = Ç.

^^ pu --pv

p'u — p'ç = 2 ic{bc 4- ib^ — a^ — ica).

On a Identiquement

(i + i)(6c-f- ib^ — a« — ica) = (rt -4- A -H c) [c -4- i(b — a)] — (a*-+-6«-4- c*), et, comme (a^-|- b^-i- c^) est ici nul,

0 ic

p'u — pV = — — ^.(a-f- ÔH- c)[c-+- i(ô — a)]

= (iH- i)c(a-h^-+-c)[c-+- i{b — a)].

D'autre part, nous avons

pu — pv = e^x, — ef^-h ic{b — a) = c[c -¥- i{b — a)]. Donc le rapport cherché a pour expression simple

Cherchons les fonctions p et p' pour l'argument (V= — (// + r). Nous aurons d'abord

pw-\-pu-\-pv = iE*= -(a-+-ô-4-c)* = i{ab -^ bc -\- ca ),

p M -h pv = €^->r e^ -+- i{bc -H ca) = — ^y h- i{bc 4- ca),

j)«? = ey -h iab.

D'après le théorème d'addition, le rapport $ reste inaltéré quand on permute w, v^ iv\ d'autre part, pw, pv^ pw se déduisent les uns des autres par permutation de a, 6, c. Donc, sans recommencer le calcul de Ç, on peut écrire immédiatement

p'w = 1 iab (b -^ ia ).

Nous avons donc ce groupe remarquable de formules pour les quarts de période

p M = ^3f -H ibcy pv = ep H- ica^ pw = e^ -h lab ;

p'u = '2 ibc (c -h ib), p'v = à ica {a-\- ic ), p'tp = iiab{b -\- ia)\

Par les changements des signes de /, a, 6, c, ces formules conviennent à l'addition d'un quelconque des arguments -^ avec un

quelconque des arguments -f- o\i ~-^'

Soient a = i, ^ = 2, y = 3, et choisissons les racines carrées r/, 6, c ainsi :

Nous aurons

pu = Cl -h ^ei — ez ^Ci — e^ ,

p'u = — 2 /ei — ej ^ei — Cj (/ei — ej -4- y/ej — ej ),

ptv = «3— /<?! — «8 V^c, — es ,

p'«v = — 2 iV«î — «• /«i — «8 (v^ej — es -4- /ej — e, ),

et, par conséquent,

pç = ej — i v/^î — ^3 /^i — ^î »

pV = — 2 iV^î — es /e, — Cl (y/e, — «3 — iV^i — e,),

Comme (o est réel et (o' purement imaginaire, on n'aura qu'à changer, dans ces dernières formules, i en — i pour avoir les formules convenant à l'argument • Le problème est entièrement résolu, et nous pouvons résumer la solution dans le tableau suivant, où tous les radicaux sont pris positivement :

I P - = «1 -♦- V^«i — et ^ex — ez 9

p'- = — 2(ei--«3)/ci — e, — 2(^1 — c,)v/ei — 63;

p(^ -H w'j = ei — /ei — ej /^i — ez ,

P' ( Î^-H- o)' j = 2(c, — ej) v/«i — e, -- 2(c, — «,) /ei — e^ ;

p— = es— y/e, — <?3/^i — «8,

(aa)

pf hwj =e3-+-/e, — es ^Ci — ez,

p'( h o) j = 2i(ei — e3)/e2 — «3 — 2*'(^j— es)v/ei— ea;

= ej— tV^2 — ^3 ^ei — et,

' = 2{ei — ei)^ei — ez 4- 21(^1— es) y/ei — ej: