CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS

Dérivées des périodes par rapport aux invariants.

Nous avons précédemment observé que, si {^ est une fonction de g2,gi, on a

et nous avons déjà utilisé celte relation, dans Thypothèse i^ = coa, n étant supposé nul (25). Semblablement, pour tout nombre pair /i, on retrouve de la sorte une égalité équivalente à celle qu'on obtient avec w = o; par exemple, pour/i = 2, on a, d'après (7),

ce qui concorde avec la relation (aS), nous donnant

D(64 — T<?î) = i2ea(44 — 1^2) — 6^3.

Mais, si n est impair, le terme j)^"+*^^, dans (35), ne disparaît pas quand ç est une demi-période, et l'on obtient ainsi le résultat de l'opération D sur cette demi-période. Prenons le cas n = i et mettons simplement to pour cette demi-période qui sera quelconque : pV étant alors nul, D pV l'est aussi, et nous avons, en écrivant r, au lieu de JJw,

o = ap'w.T^ -+- p'tù Doi.

Telle est l'expression très simple que nous trouvons

(36) ^^="^»a^, -^5^i5^=-^'i• Avec l'équation d'homogénéité, w étant du degré — i , comme

âtû ^ dta

nous avons les deux dérivées de co, savoir

3oS PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

On peut encore obtenir l'égalité (36) d'une autre manière par la première relation (y). En supposant toujours u indépendant de ^2* gii nous aurons, à cause de la périodicité de pu^

Dp(a-+-2a)) = Dpu,

Mais, d'autre part, on obtiendra Dj)(mH- aco) en faisant l'opé/a-

tion D comme si l'argument était indépendant de ^2) S'a et ajoutant au résultat iÀp'(u-{- awjDco.

Donc, suivant (^),

Y) pu = îip'(M -h aoi) Ç(a-+- 2U))H- 4p*(" -^ aw)— J/Ti-f- 2ip'(M -H aw) Dco.

Comparons à (7), et observons que p{u -i- 2a>), p'{u + a eu), reproduisent J)/^ et j/w, mais que t(u -h 20)) = !^w -h 2'/;, et nous avons

ip' u r^ -\- jLp' u I)(o — o,

retrouvant ainsi l'cgulité (3d).

Dérivées de ?] par rapport aux invariants.

Nous obtiendrons ces dérivées en opérant sur l'égalité (iS'i comme nous venons de le faire sur les égalités (^). D'après (10), nous aurons généralement, à cause de îj'r = — p^\

Supposons ç =iio, et employant l'expression (3()) de Dw, on (M)nclut

Dr, = — iptxi.r, -r- l .A%a) H- ipoi.r, = 1 ^"jW.

Avec la relation d'homogénéité, ceci nous donne

i Dr - 10 rr. -f'^ ^ i rrî ^L - I .r -o

'lA'i