CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS. SOQ

Voici quelques conséquences qu'il convient de remarquer. Prenons deux demi-périodes distinctes w, co', et les quantités correspondantes 7^,7^'. Considérons, en premier lieu, la quantité 7^(0' — vj'io. D'après (36) et (38), nous avons

D(7ia)' — r^'ui) = o.

fi A

L'opération 45^2^ H 6^3 j— donne aussi zéro pour résultat sur

cette quantité, qui est du degré zéro; donc, comme on peut le vérifier aussi par (3^) et (39), les deux dérivées de t^ù' — vj'o) sont nulles. Cette quantité est donc une constante numérique. Nous savons, en effet, qu'on a toujours (p. 260)

(4o) r,o/ — t/o) = mt — >

m étant un nombre entier, qui est l'unité si to et to' sont convenablement choisies. On trouve aussi par (36),

Ia)D(i>' — 10' Du) = 2(7)0)' — t/cd) = mliz^ IN co' i:

D T- = m— T- Itxi 10*

De même, comme conséquence de (38),

( TiDr/ — t/Dtt) = 1^,(t)U)' — r/u))= ^ ^Jr

Notons encore cette dernière égalité

ObserratiGns sur les équations aux dérivées partielles qui sont vérifiées par les fonctions a*.

Reprenons les deux équations (21) et(3i) en mettant des lettres quelconques pour les inconnues :

Voilà deux équations à trois variables indépendantes g^y g^y u qui s'offrent dans cette théorie. Il est manifeste que l'une est une transformée fort simple de l'autre. Si l'on pose 5=|xY, pour changer d'inconnue dans la seconde, et que [x soit indépendant de w, la transformée sera

Cette transformée coïncidera avec (44) si l'on choisit pour jx une solution de l'équation

Or, d'après la relation (27),

D log(ea— ep)(ea— Cy) = 4«a, on a une telle solution en prenant

On peut donc se borner à considérer l'équation (44)j ^^ nous voyons que U équation (44) ^st vérifiée par les quatre fonctions suivantes, mises à la place de y,

Nous pouvons même multiplier ces quantités par des fonctions arbitraires de A; les produits sont encore des solutions, puisque, d'après l'égalité (24), l'opération D, faite sur A, donne zéro pour résultat. On peut aller plus loin encore, et nous allons faire connaître un changement d'inconnue qui transforme l'équation (44) en elle-même. Soit

une solution de l'équation (44 )• Considérons la fonction

où n sera supposé représenter une arbitraire, indépendante de w,