CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS. 3 II

g2i g^\ ^^ nombre^ si Ton veut. Voyons d'abord quelle est la transformée de (44) pourri . Deux changements doivent être faits dans cette équation : le premier consiste à remplacer, au dernier terme, u^ par (w -h /lo))- ; le second se rapporte à l'opération D, qui est faite dans (44) en supposant u indépendant de g^i gz- H est manifeste que, mettant dans/, après l'opération, m-H/io) au lieu de w, on aura, d'après l'égalité (36),

par conséquent, la transformée en ^i est

Changeons maintenant l'inconnue en posant

-, nyii/-»- - n'YjCi)

On aura

yi du* Y du* ' Y du '

i dyi I dY

y, du ~ Y du ■^'^'^'

— Dki = -^ DY -h nu Dtj -f- | /i' D t^(o.

Cette dernière égalité, d'après (38) et (43), se change en — Dk,= ^ DY-f-l^/i^jWM — /iî(r^* — -i^ï^jo)»).

Substituons dans (46)» et, réductions faites, nous trouvons

c'est-à-dire l'équation (44) elle-même. Ainsi, ayant une solution y = /{u'j ga^ gz)t nous en déduisons cette autre

(47) y=f{u-^THsi\gi,g^)e î ,

dans laquelle n est une quantité numérique à volonté. En parti-

culicr, prenons /i = i, et nous aurons pour celle solution, en partant de 'iu^

ou, d'après une relation déjà établie (VI, 48),

C'est là, on le voit, une nouvelle manière de démontrer que la fonction d^u vérifie l'équation (45).

Au point de vue de l'équation (44) elle-mênie, si l'on change encore, dans (4")? " ^^ u-^n'iJ^ en multipliant parle faclcnr

-ii'ri'{M-t-/ic«))--n'«yi'c«)' , ^ • 1 1 1 •

e * , on voit que cette équation admet la solution

, , ,v — {nr,4-/i'YJ'Mi (nY) + n'T]')(/tti>-f-n'ti>')

j' = 3'(a -+- 710) -f- /i oj )e • ' , I • ^

où w, n' sont des quantités arbitraires. On peut, en outre, multiplier y par une fonction arbitraire de w, n\ A, intégrer ou dîflerentier le produit par rapport à /i, /i', et l'on a encore des solutions. Par exemple, {iù^' u — rji^u) est une solution de l'équation (44)* obtenue en différentiant, dans (4;)» P^** rapporta /i, et faisant n = o.

Équations hypergéométriques avec l'invariant absolu pris pour variable indépendante.

Si Ton considère une fonction de ^a? S'a» homogène comme les précédentes, mais de degré zéro, on peut envisager celte fonction comme dépendant d'une seule variable, V invariant absolu J,

Gomme DA est nul (24)» on a

DJ = i^ 12^3 = ^^- I- 8\ = 4 /3(J - ir J ' A' •

et é 3

Soit :; la fonction considérée; elle aura une dérivée par rapport