CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS. 3l

à J, et, si l'on connaît D-3, on en conclura

D.= gDJ=4/3(J-.)MA^J.

Prenons, comme de telles fondions s, homogènes et du degré zéro, les deux suivantes x^ y :

(49) a:=ioArî, y=T,A~»V

Suivant (36), nous aurons alors

et, suivant (38),

Conservons la quantité x\ mais, au lieu de j^, prenons )',

(52) y = -L (j,)-ïj-îy,

et les deux relations (5o) et (5i) s'écrivent

dx

d'où l'on peut tirer une équation séparée, soit pour jr, soit pourr,

(54) J('-J)£l-^i(4-7J)^'-Th-^-o,

Ces équations appartiennent au tjpe hyper géométrique ou équation de Gauss, et nous y reviendrons dans le Chapitre sui-

3l4 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

vanl. Elles déterminent les quantités co, r^ en fonction des invariants (*).

Applications : Limite de - quand le discriminant tend vers zéro ; variation de - quand le discriminant est positif; exercice.

Les formules qui donnent les dérivées de tj et de co par rapport aux invariants sont souvent utiles. Nous allons, à titre d'exercice, en donner ici trois applications, où les invariants seront supposés réels.

Première application. — Démontrer que, le discriminant

tendant vers zéro, le rapport 3- tend vers la limite -^> comme

on Ta déjà reconnu (V, 32 et 33).

Prenons Tégalité

en y entendant par (o la demi-période unique qui reste finie et continue quand A tend vers zéro. On se rappelle qu'il y en a toujours une dans ce cas {voir Chap. II et III) : deux demi-périodes (lifTérentes jouent tour à tour ce rôle, suivant que ^3 est positif ou négatif. Ce sont la demi-période réelle et la demi-période purement imaginaire. Le premier membre de l'égalité (56) devient donc nul,

et l'on a eflectivement, à la limite, - = —» Mais, si l'on prend

' ' 10 -igi ' '

maintenant une autre demi-période, on aura

7) Tj nlTZ

0) (i> (OCO

Le second membre est infiniment petit, car w est infini. Donc :;!- a la môme limite que —'

(') L'cqualion (54) a été découverte par M. Bruns: Ueber die Perioden der elliptbchen Intégrale erster und zweiter Gat t un g {D or paier Feslschrift, 1875); elle a été reproduite par M. Félix Klein dans son premier Mémoire sur la théorie de la transformation : Ueber die Transformation der elliptischen Functionen und die Auflosung der Gleichungen fiinften Grades {Math. Ann, t. XIV, p. 124).