CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVAftlANTS. 3x

Deuxième application. — Quand g^r este fixe et positif et que 3 crott depuis — 1/(^) jusqu^à -^y \^) (^^ sorte que le discriminant reste positif), — crott constamment depuis y ~4

jusqu'à -^ -i/ ^^; co désignant la demi-période réelle ou la

demi-période purement imaginaire.

Par les relations (3^) et (39), nous avons

V '^ gt gi

l^ll'H^lilY

àg^~ A \ w 1 gtl 4 ^2

On voit que, g^ et A étant positifs, le second membre est toujours positif. Donc — est constamment croissant. Pour les valeurs extrêmes de ^3, le discriminant est nul, et les valeurs extrêmes de i sont ^

Troisième application. — Le discriminant étant positif , établir que la fonction /(Ç)

(où iù désigne la demi-période réelle) est négative pour \ = e et pour 5 = ^2? ^^ qiCelle est positive pour Ç = ^3.

Cette application, un peu plus compliquée, est utile pour la théorie du pendule, comme on le verra dans le tome II.

Formons la dérivée Aef{\) par rapport à ^3, en y supposant que Ç soit ei, e^ ou 63. Envisageons d'abord la quantité

Les coefficients P et Q s'obtiennent par la substitution, dans cette égalité, des expressions trouvées pour - — et ^ »

3l6 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Formons ensuite les produits QÇ etQÇ-*, eny faisant disparaître Ç^, par le mojen de

Nous trouvons ainsi

Comparant cette dernière quantité à — TïffiQ,^ ^^ obtient

Remplaçant P par QÇ et Q par cette dernière expression dans (57), nous aurons

Nous déduisons aussi de (58)

par conséquent, en différentiant /(Ç), nous aurons

La forme si remarquable de cette dérivée va nous permettre de démontrer la proposition annoncée. Écrivons-la ainsi

Observons maintenant que, g^ croissant depuis — {/ i'T')

jusqu'à -Hi/fx) '/(^) ^^ V^^^ ^^^^ infinie qu'à la limite inférieure, où T, et tù sont infinis. Elle est ensuite toujours finie. Elle est nulle pour la dernière valeur de g^. En eflet, le discri-