CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS

minant étant alors nul et g^ positif, e^ et e^ sont égales entre elles ; par conséquent elles rendent nulle la dérivée de 45* — g-À — gi •

liÇ*— ^j=o, Ç =

Celte valeur de Ç coïncide avec celle que prend alors — --> comme on l'a vu dans la seconde application. On a donc

D'autre part, on a

/(^i ) -r /{et) -\-/{ei) = aj(e} -i- ej -+- ej ) — Tf)(e, -f- e, -+- e,) — | ^jO),

l)onc/(ei) est nul, en ce cas, puisque /(e^) et/(<?3) le sont aussi.

Rappelons-nous aussi que la dérivée 12Ç* — g2 du polynôme (4$' — g'2^ — gi)j dont les trois racines sonte3 <[ e^ <C^i) est positive pour les deux extrêmes, négative pour la racine moyenne; et aussi que e^ est positif, €z négatif, €-2 positif ou négatif.

Revenons maintenant à l'égalité (Sg) en y supposant Ç = <?| . Le coefficient ^(laÇ- — gi) est positif. Comme ^^2 ^ est aussi positif,

on voit que -p- est positif quand /(^i ) est nul. Donc f{e^) ne

passe par zéro qu'en croissant, et, commr zéroest sa valeur finale, nous voyons que l'on a toujours/((?i) <[ o.

De même, en supposant Ç== 63, nous avons un coefficient négatif Ç(i2Ç- — g'i)] la conclusion est opposée » /{c^) ne peut passer par zéro qu'en décroissant; donc, zéro étant sa valeur finale, on a toujours/(^3)>o.

Pour <?2, il faut observer que sa valeur finale, coïncidant avec celle de 63, est négative. Faisons croître g^ à partir de zéro, de telle sorte que <?2 reste négative. Alors e^ii^e^ — gi) est une quantité positive, et, par le même raisonnement, on voit que/((?j) est négatif, quand gz croît ainsi à partir de zéro, c'est-ù-dire quand

3l8 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

^2 est négatif. Pour le cas opposé, observons que le polynôme f{z)i dont les termes extrêmes ont des signes opposés, a une seule racine positive, à laquelle e^ est inférieur, puisque /(ei) est négatif. Comme e% est moindre que e^^ e^ est moindre aussi que la racine positive Ae f{z)\ par conséquent, si e-^ est positif, e^ entre les deux, racines àe f(^z) gX- /{e^) est négatif. Donc, en tous les cas, on a/(e2) <C o. C'est ce qu'il fallait prouver.

Voici quelques conséquences de la proposition qu'on vient d'établir. Considérons le quotient de/(S) par (o, et soit <p(5) ce quotient

Il est prouvé qu'on a

?(«i)<o, ç(ei)<o, o(e3)>o.

Prenons maintenant la quantité analogue, également réelle, en mettant la demi-période purement imaginaire

Par le changement de 0^3 en — g^^ ?(^i)» ^{^2)1 ^(^a) se changent respectivement en ^'(^s)» 4* (^2)) 4(^0* On a donc

'K«i)>o, ^(^2X0, ^KeaXo.

De là résultent, pour les six quantités (p et <}», des limites plus précises ; car entre ces quantités a lieu la relation

En désignant par une seule lettre la quantité positive

ITT

on a donc

— ce, <ç(ei)<o, o< <j/(ei)<cei,

o < ?(^3)< — ces, ce-i < ^{e^) < o.