CHAPITRE IX. ~ DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS. 3iÇ

La fonction /(Ç) a pour dernière valeur o quand A devient nul, ^3 étant positif; nous n'avons pas précisé sa valeur extrême pour A = o, ^3 <I o ; ce qui serait cependant facile, au moyen de l'expression asymptotique de w, mais entraînerait à quelques détails un peu longs. Ici nous voyons que o{^) est nul aux deux limites. Ainsi ^{Ci ) et ç(^-i ) partent de zéro et reviennent à zéro en restant toujours négatives, cp(e3)part de zéro et y revient, en restant toujours positive.

Dérivées par rapport aux périodes.

La connaissance des dérivées, prises par rapport aux invariants, va nous permettre de trouver, par un calcul direct, d'autres dérivées bien moins immédiates : celles qui sont prises par rapport aux périodes. Il est clair que le système de trois variables f/, w, (o^ peut remplacer le système //, ^2j ffz-

Ce changement de variables se fera, à la manière ordinaire, par le moyen des relations (3^) où l'on mettra successivement w et to' au lieu de co. Mais il est beaucoup plus simple d'utiliser la relation (36)

Soit z une fonction quelconque des variables ci-dessus; on aura avec les nouvelles variables

, ^ s r^ àz ^ àz ^ , / f)z , àz \

Cette formule (6o) nous suffira; mais on peut y joindre la relation d'homogénéité

,^ V àz , àz . àz ^ àz

(6i) u)-— -t-to — ;=— 4^,^ 6^3 -j

ôiM dix) agi ^ agi

Soit, par exemple, z =: r, ; on aura, d'après (38),

I 10 --!■ + lo' -P; = — T,; > dut 01»

d'où Ton lirera, en supposant r,(u' — r/w ^ mi— y Soil, en second lieu, ;; = A, on aura, d'après (24),

f>(o /iiTT VIO mr

formules intéressantes, faisant apparaître r^ et 7/ comme étant, à (les facteurs numériques près, les dérivées logarithmiques du discriminant par rapport aux périodes

Enfin Téquation fondamentale ('>^i), satisfaite par j':=(^w, se change en celle autre

^*" > ^ïiT' -^ ='"' ;;^ + "' S;^' + " -^^ " •>' = "•

Cette forme ne semble guère pouvoir être utile à cause de la présence des quantités r,, r/, ^2 î mais un changement d'inconnue va bientôt faire disparaître ces quantités et nous conduire à la propriété fondamentale (VIII, 37) qui caractérise les fonctions S.

Dérivées par rapport à log^.

Dans un des paragraphes précédents, on a considéré en particuher les fonctions homogènes et du degré zéro; il convenait, pour elles, de prendre comme variable l'invariant absolu J, au lieu de g., et ^3; car elles ne dépendent que d'une seule variable, non de deux. De même, pour ces fonctions, au lieu des deux variables (0, to', on devra considérer une seule variable, le rapport