CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS

de ces deux dernières. Nous affecterons, en outre, ce rapport d'un coefficient numérique. Soit donc û cette variable

Û = ; = lit •

Nous avons, d'après (40?

DQ = — /ni — ) > T.u) — Ti(o = /ni-»

Soit z une fonction homogène et du degré zéro ; sa dérivée, par rapport à û, sera fournie par Tégalilé

f dz , àz\ dz ^^ /TzYdz

Var exemple, DA étant nul, on aura

D(Aa)»«)=— !i4>i Aa)" = — mr — I -

du '

du nxTZ^ '

(65) . TiO) = — ; 5 •

Si l'on suppose r^iJ — y^'ci) = t - , c'est-à-dire m = f , alors û

coïncide avec la quantité désignée par logy au Chapitre VIII, et Ton retrouve la relation (VIII, 48)

Notons encore, d'après (43), cette autre conséquence

Nous venons de supposer une fonction ne contenant pas ii. Prenons maintenant une fonction des trois variables m, to, w', homogène et de degré quelconque/?, en sorte qu'on ait

F(pu, po), po)') = p/'F( U, 0), o)').

C'est ainsi que ^u est une tdlc fonction du degré H- i, 21 a du 1. 21

degré — i, pu du degré — 2, etc. Prenons la combinaison

c'est une fonction des deux seules variables ç>, û. Calculons les dérivées. Il est entendu que^- ' T"' j~/' • • • représentent les dérivées partielles de F(m, co, w') dans lesquelles, après le calcul, on remplace u par 2toç. Quant à ^> ^^> . . ., ce sont les dérivées partielles de /par rapport aux deux variables ç^, û, qui figurent dans cette fonction.

En dérivant, par rapport à ç^, w, o}', les deux membres de régalîté

(s}P/(v^ û) = F(2a)i', (i>, u)') = F(a, (o, w'), (a = awi?) nous avons successivement

à/ âQ ÔF dF , df ÔF

■^ "^ oil ota ou OU) âv âtù

df dQ dF ^^ du du}' ~ dtù' '

dF ,dF / ^ df\ df f du ,dil\

'^-d;.-^''^d;;.'=''^''''\pf-'t.)-^'''raV^d^

D'ailleurs, comme on le peut aussi vérifier directement d'après la définition de û,

dQ ,dQ, .^ ^/-^A-

en sorte qu'il vient ici

dF ,dF

(69) -^jr-^-^é

dta ' diii

J ^ df\ mrJ . df

Nous allons faire usage de ces formules de changement de variables (68) et (69).