CHAPITRE IX. — DÉRITÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS
Équation aux dérivées partielles, vérifiée par les fonctions 2r.
Conservons aux lettres employées les mêmes significations que dans le calcul précédent, et prenons la combinaison
(70) ^ = e-«TQ«-«''(Aa)«) " /(f^, û).
Les coefficients introduits sont homogènes et du degré zéro, en sorte que z est aussi une fonction des deux seules variables, v^ û. Calculons les deux dérivées suivantes :
= e-îriù>..«(Au)i«) »* r^«87)i«)i'|^ -t- (i6r,«a)»i>«— 4Ti(o)/l,
du ^ ^ Ida, ^ dM-^^ 24 d^ 'y
Formons maintenant la combinaison
(71) ^ = 5;;? ^4/^^^' dû'
et examinons d'abord quels sont les termes contenant seulement/, sans dérivées.
Sauf le facteur placé en dehors des crochets, ces termes sont, d'après (65) et (67),
i6T)*to*i'* — 4''îw>
La somme de ces coefficients est (8/?yito 4-^g'2W*^^)« Les autres termes n'offrent pas de réduction, et l'on a ainsi
eîtio)«'»(Au)ï«) «* U ce que nous pouvons écrire, d'après les égalités (68) et (69), sous
celte autre forme
d*F dF . dF
(72) iu)P-«e»^<«>«''(Au)*«) ** U = y , -+-aTi— -f-2Yj'T-, -i-rï^îa*F.
Telle est la transformation de la quantité U ( 7 1), quand on pose, conformément à l'égalité (70),
(73) ^ = e-«^<^«''(Au>" )""»*" ^^'^>^'^^^\ u = ii3i¥,
et que F est une fonction homogène du degré/?.
Nous retrouvons ici, dans l'expression (72) de U, le premier membre de l'équation (64); c'est aussi, nous l'avons vu (p. 32o), le premier membre de l'équation bien étudiée déjà
(74) —.-^y^TigtW^y^o,
Cette dernière a donc pour transformée, avec les variables z^
d^z dz
OU, en supposant m = i ( r,(i) — r, to r= — j
(75a) TT -+- »^ Jl =®> q=e iw.
C'est l'équation déjà trouvée (VIII, 87 ) comme étant satisfaite par les fonctions Sç>, d'après la forme de ces fonctions. Nous allons maintenant, d*une manière sommaire, retrouver ici, par une i^oie nouvelle, les principaux résultats obtenus au Chapitre VIH.
Expression des fonctions 2r par les fonctions -i.
Supposons, dans (73), F remplacé par a*, dont le degré /> est l'unité. La fonction
z{y) = e-«0«»'-(A(ui2)» '- — '- — ^
to
satisfait à l'équation (75 a), puisque 3* satisfait à l'équation (74).
