CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS

De plus, d'après la propriété de d,

la fonction ^ a la propriété correspondante

c'est aussi, comme d^ une fonction impaire. En admettant donc qu'elle se développe en série trigonométrique, on posera

L'équation (70 a) impose aux coefficients A, indépendants de Vy la condition générale

La solution de cette équation différentielle est

Aî/i4-l = Ctn^xÇ^ * ' ,

le coefficient C2„^| devant être purement numérique. Pour déterminer ce coefficient, invoquons, avec Jacobi (*), la propriété que possède a* de s'annuler pour m := 2(u'; par conséquent z(v) doit

être nul pour r = — • Cette valeur de t^ donne

^tn-hl

(ta' tù' \

On doit donc avoir

o = -^.y-* (Ctiq^ïy —q\ï/ J-f-C3[<7\î/ — ^\î/ J-hCiL^rVï) — q\ï) J-h... j, C3 = — Cj, C» = -*-Ci, C7 = — Cl, C9 = -4- C|, ....

(* ) Ueber die partielle Differentialgleichung, welcher die Zàhler und JVenner der elliptischen Functionen geniige leisten {Journal de Crelle, t. LXXXVI, et C.G.J, Jacobi's gesammelte Werke, t. II, p. 170).

3a6 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Il n'y a donc plus qu'un coefficient numérique c^ inconnu dans la formule

z{v) = CxX^ff'^ sxnvK — ^ri sin3i''ir-+-...-4- ( — ^Yq^ * / siii(2n-hi)pit...J

Au Chapitre VIII, le coefficient, par où la série et la fonction considérée différaient, dépendait de q^ et il a fallu un détour assez long pour trouver l'expression effective de cette série. Ici le coefficient numérique c^ se trouve aisément. Supposons, à cet eflFel, que le discriminant tende vers zéro, g^ étant positif. Alors q tend vers zéro; et Ton a (Chap. II et III, p. 67 et 89)

im j-^ = TTi.

D'autre part, la dégénérescence àe du donne ici (VI, 38)

comme on le voit, en se rappelant que r\tù a pour limite — (V, Sa), On a donc

lim — ^ = 2 v'TT sinPTT, Ci=2V7c.

Ainsi, en posant, comme au Chapitre VIII,

Fi. 1 .

(76) 2r, i; = 2^5'* sini^u-t- 5'* sinSt^u-t- . . .

/in-f-U» -\

-r-{—'iYq\ « ^ sin(27H- 1)*»?:...],

on a, pour cette fonction, l'expression

i /ti 1 -iîJi!

(77) 3iP= -p:^(p) = 1/ - A8 tfae * ««» , a = 2a)i^,

conforme à celle qui a été déjà trouvée (VIII, 49)- Les autres relations analogues se déduisent immédiatement de celle-ci, et il n'est pas utile d'y insister. On peut seulement dire qu'il est loisible de les obtenir directement en construisant les autres fonctions &, comme on vient de le faire pour S<, au lieu de les déduire de &|.