CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS

Par exemple, en prenant, pour F, la fonction y/e^ — e% d^ m, qui satisfait à Téquation (74) et a pour degré ;? = — ^, on aura

z = v/o) e-*^****' v^ei — 63 0*2 (a wi»);

cette fonction devra vérifier l'équation (^5 a), et Ton pourra former son développement, comme on vient de le faire pour la précédente.

Équation aux dérivées partielles pour le calcul

de la fonction ^ti{^)*

Soit encore F(w, (o, co') une fonction satisfaisant à l'équation

(78) g DF-+-Jj^,a«F = o;

la fonction ^= F(nw, to, (o'), où n est une constante quelconque, vérifiera l'équation

Faisons le changement d'inconnue

y âU* z âu^ du ^

- Dk = - Dz -+- n«Dlog(3'a= - Dz -+- n«(Ç*M — pa-t-yj^jM»).

Il en résulte la transformée ^'^^^ ^ 5S« -+-aÇM — — Dz-4-(n« — i)pa.^ = o.

En considérant la variable pu, au lieu de u, on aura

-^ dz r\ , dz i ^ dz

âpu ^ ^^^ àfft * ^ àgz

Si l'on met cette expression de Hz dans (79); on voit dispa-

raître les deux termes en Cm, car on a

dz . âz

OU * ôpu

La variable pu remplaçant //, il faut aussi changer le premier

terme

Ou* (Opu)^ ' Opu'

Ainsi, soient

F(nu) X = pUy z = ,- -— ri7 * (s'a)"*

F(w) satisfaisant à la relation (78): la fonction z vérifie Téqualion

dz Ox

Supposons F(e^) = ^m. Alors ^ coïncide avec la fonction •%(«) qui sert de base à la théorie de la multiplication deTargumeul.

Ainsi la fonction '}/i(w) vérifie Téquation (80), qui pourra servir à calculer 6,, (w).

Supposons, par exemple, n impair; '^«(w) est alors un polynôme entier en pw, dont on connaît le premier terme (IV, i3),

^^{u) — nx * -^ Xx * -h....

En écrivant ce polynôme avec des coefficients indéterminés et substituant dans (80), on verra les coefficients se déterminer successivement sans difficulté. Mais nous ne voulons pas nous arrêter sur cette détermination, qui, déjà pour le cas /? = 5, entraîne à des calculs fort longs. Celte méthode est, il est vrai, la seule que nous possédions pour trouver d»,, (m) sans calculer d'abord les fonctions d'indice moindre; mais elle n'a été jusqu'à présent d'aucun usage.

(') Cctlc équation reparaîtra dans la théorie de la transformation; nous dirons alors comment elle s'est présentée dans les travaux récents de M. Kiepert et de M. F. Klein.